Рефетека.ру / Математика

Реферат: Прикладная математика

УДК

Методические указания к выполнению курсовой работы по дисциплине ” Прикладная математика” /Сост.: Колемаев В.А., Карандаев И.С. и др. ГУУ, М.:2000.

Составители

Колемаев В.А. – профессор, доктор экономических наук

§15.

Карандаев И.С. - доцент. § § 2, 4-10

приложения I, III, IX.

Малыхин В.И. - профессор, доктор физико-математических наук

§ § 11-14, приложения V, VII, VIII.

Гатауллин Т.М. - доцент, кандидат физико-математических наук

§ § 1, 3, приложение IV.

Прохоров Ю.Г. - доцент, кандидат физико-математических наук

Приложение VI.

Юнисов Х.Х. – старший преподаватель, приложение II.

Ответственный редактор

заведующий кафедрой прикладной математики

доктор экономических наук, профессор

Колемаев В.А.

Рецензент

кандидат экономических наук, доцент

кафедры экономической кибернетики

Васильева Л.Н.

© Государственный университет управления, 2000

Предисловие

Учебными планами всех специальностей ГУУ предусмотрено выполнение курсового проекта по дисциплине ² Прикладная математика² . Как указано в программе этой дисциплины, прикладная математика состоит из двух основных разделов: теории вероятностей и ее приложений и математических методов исследования операций, которые включают также финансовую математику, что особенно важно для студентов-заочников, специализирующихся в области финансового и банковского менеджмента. Программой предусмотрено также изучение основных вопросов линейной алгебры.

Рекомендуется изучить основы теории систем линейных алгебраических уравнений по учебнику [1]. Напомним, что в задачах линейной оптимизации приходится в основном рассматривать системы линейных алгебраических уравнений в предпочитаемой форме, когда каждое уравнение системы содержит неизвестную, входящую только в это уравнение, причем с коэффициентом +1, а поиск оптимального решения сводится к направленному перебору базисных неотрицательных решений. Поэтому студент должен иметь ввиду, что нет смысла приступать к рассмотрению линейной производственной задачи курсовой работы, пока не изучены основы теории систем линейных алгебраических уравнений, изложенные в §§ 1, 2 главы 1 учебника [1].

Краткое и сжатое изложение основных вопросов исследования операций дано в работе [7], а разбор задач - в пособии [16]. При этом полезно предварительно ознакомиться с работой [11], где некоторые важнейшие вопросы программы изложены весьма подробно и доходчиво. Специальные вопросы исследования операций изложены в работах [6], [8] и [25].

Финансовая математика может быть изучена по работам [20], [23]. Необходимый для этого материал по теории вероятностей и математической статистике рекомендуется изучить по учебнику [2].

§ 1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ КУРСОВОГО ПРОЕКТА

Выполнение курсового проекта по прикладной математике направлено на усиление связи обучения студентов с практикой совершенствования управления, организации современного производства, всего механизма хозяйствования.

В процессе работы над курсовым проектом студент не только закрепляет и углубляет теоретические знания, полученные на лекциях и на практических занятиях, но и учится применять методы исследования операций при постановке и решении конкретных экономических задач.

Цель курсового проекта - подготовить студента к самостоятельному проведению операционного исследования, основными этапами которого являются построение математической модели, решение управленческой задачи при помощи модели и анализ полученных результатов.

§ 2. Задание на курсовОЙ ПрОЕКТ Сформулировать линейную производственную задачу и составить ее математическую модель, взяв исходные данные из приложения 1, где технологическая матрица А затрат различных ресурсов на единицу каждой продукции, вектор объемов ресурсов В и вектор удельной прибыли С при возможном выпуске четырех видов продукции с использованием трех видов ресурсов

Прикладная математика

компактно записаны в виде

Прикладная математика

Преобразовать данную задачу к виду основной задачи линейного программирования, решить ее методом направленного перебора базисных допустимых решений, обосновывая каждый шаг процесса, найти оптимальную производственную программу, максимальную прибыль, остатки ресурсов различных видов и указать ² узкие места² производства.

В последней симплексной таблице указать обращенный базис Q-1, соответствующий оптимальному набору базисных неизвестных. Проверить выполнение соотношения

H = Q-1B

Если по оптимальной производственной программе какие-то два вида продукции не должны выпускаться, то в таблице исходных данных вычеркнуть соответствующие два столбца, составить математическую модель задачи оптимизации производственной программы с двумя оставшимися переменными, сохранив прежнюю нумерацию переменных и решить графически.

2. Сформулировать задачу, двойственную линейной производственной задаче, как задачу определения расчетных оценок ресурсов, и найти ее решение, пользуясь второй основной теоремой двойственности (о дополняющей нежесткости). Указать оценку единицы каждого ресурса, минимальную суммарную оценку всех ресурсов, оценки технологий.

Применить найденные двойственные оценки ресурсов к решению следующей задачи.

Сформулировать задачу о "расшивке узких мест производства" и составить математическую модель. Определить область устойчивости двойственных оценок, где сохраняется структура программы производства. Решить задачу о ² расшивке узких мест производства² при условии, что дополнительно можно получить от поставщиков не более одной трети первоначально выделенного объема ресурса любого вида (если задача окажется с двумя переменными, то только графически); найти план приобретения дополнительных объемов ресурсов, дополнительную возможную прибыль.

По пунктам 1, 2, 3 составить сводку результатов [10, c. 21].

3. Составить математическую модель транспортной задачи по исходным данным из приложения 2, где вектор объемов производства А(a1,..., am), потребления - В (b1,..., bn) и матрица транспортных издержек С=(сij), i =Прикладная математика; j = Прикладная математика кратко записаны в виде

Прикладная математика

Если полученная модель окажется открытой, то свести ее к замкнутой и найти оптимальное решение транспортной задачи методом потенциалов.

4. Методом динамического программирования решить задачу распределения капитальных вложений между четырьмя предприятиями производственного объединения, располагающего суммой в 700 тыс. руб., по исходным данным, приведенным в приложении 3 (выделяемые суммы кратны 100 тыс.).

5. Рассмотреть динамическую задачу управления производством и запасами. Решить конкретную задачу по исходным данным, приведенным в приложении 4.

6. Рассмотреть матричную игру как модель сотрудничества и конкуренции, взяв исходные данные из приложения 5. Найти графически решение игры. Указать, как проявляется конкуренция между игроками и сотрудничество между ними.

7. Рассмотреть задачу о максимальном потоке в сети. Решить конкретную задачу на сети с 8-9 вершинами, предложив исходные данные самостоятельно.

Рассмотреть задачу о кратчайшем пути. Решить конкретную задачу, предложив исходные данные самостоятельно. Рассмотреть задачу о назначениях. Решить конкретную задачу, предложив исходные данные самостоятельно. Методом ветвей и границ найти целочисленное решение задачи о "расшивке узких мест производства", рассмотренной в пункте 2. Если же все компоненты плана "расшивки" были целочисленными, то в условии Прикладная математика вместо К=3 взять другое целое значение К так, чтобы решение оказалось не целочисленным, после чего применить метод ветвей и границ. Рассмотреть линейную задачу многокритериальной оптимизации. Составить самостоятельно конкретную задачу с двумя переменными и тремя критериями и решить методом последовательных уступок. Рассмотреть модель международной торговли (модель обмена). Составить самостоятельно конкретную структурную матрицу торговли между тремя странами и найти, в каком отношении должны находиться госбюджеты этих стран, чтобы торговля между ними была сбалансированной. Рассмотреть задачу управления производственным комплексом без полной информации в верхнем звене управления двухуровневой системы. Решить блочно-диагональную задачу методом разложения, предложив исходные данные самостоятельно. Составить матричную модель производственной программы предприятия по исходным данным из приложения 6. По данному вектору выпуска товарной продукции найти вектор производственной программы и полные затраты всех внешних ресурсов. Провести анализ доходности и риска финансовых операций по исходным данным, приведенным в приложении 7. Решить задачу формирования оптимального портфеля ценных бумаг: бумаги первого вида - безрисковые ожидаемой эффективности m0, а второго и третьего вида - некоррелированные рисковые ожидаемых эффективностей m1, m2 c рисками s 1, s 2. Исходные данные взять из приложения 8.

17. Рассмотреть задачу принятия решений в условиях неопределенности, взяв исходные данные из приложения 7. По номеру Прикладная математика берете строки с номерами Прикладная математика. Например, при Прикладная математика:

1. (2,1/2)(0,1/4)(14,1/8))(6,1/8) 2. (2,1/2)(4,1/4)(18,1/8))(8,1/8)

3. (4,1/4)(0,1/4)(6,1/3))(12,1/6) 4. (6,1/4)(2,1/4)(14,1/3))(4,1/6)

В этих строках опускаете дроби и получаете:

1. (2,0,14,6) 2.(2,4,18,8) 3. (4,0,6,12) 4.(6,2,14,4)

Полученные строки объединяете в матрицу, аналогичную матрице Прикладная математика. Вероятности состояний берете из строки с номером Прикладная математика, оставляя в ней только дроби: 1.(2,1/2)(0,1/4)(14,1/8)(6,1/8), т. е. получаете (1/2,1/4,1/8,1/8). Затем:

а) Найдите матрицу рисков.

б) Найдите решения, рекомендуемые правилами Вальда, Сэвиджа, Гурвица (l задайте сами).

в) При данных вероятностях состояний проанализируйте имеющееся семейство из 4-х операций: каждая операция имеет две характеристики – средний ожидаемый доход и средний ожидаемый риск, нанесите для каждой операции эти характеристики на плоскую систему координат и выявите операции, оптимальные по Парето.

г) Затем найдите выпуклую оболочку множества полученных точек и дайте интерпретацию точек полученной выпуклой оболочки.

д) Придумайте пробную операцию, которая значительно сместит распределение вероятностей, и определите максимально оправданную стоимость пробной операции, используя какой-нибудь подходящий критерий эффективности операций (например, средний ожидаемый доход).

е) Выберите какие-нибудь две операции, предположите, что они независимы друг от друга и найдите операцию, являющуюся их линейной комбинацией и более хорошую, чем какая-либо из имеющихся.

ж) Придумайте взвешивающую формулу (ее придется объяснить при защите курсовой работы!) и найдите по ней худшую и лучшую операции.

Произвести математико-статистический анализ за T лет Xt, Kt, Lt (t = 1, …, T) о выпуске продукции (в стоимостном виде), ОПФ и числе занятых исследуемого производственного экономического объекта:

а) найти прогноз выпуска, фондов и занятых на 1, 2, 3 года вперед

Прикладная математика

по выявленному линейному или квадратичному тренду;

б) найти прогноз выпуска на 1, 2, 3 года вперед

Прикладная математика

с помощью построенной мультипликативной производственной функции

Прикладная математика

в) на основе результатов расчетов сделать выводы о состоянии и перспективах развития исследуемого экономического объекта.

§3. Организация выполнения курсовоГО ПрОЕКТА

Студент выполняет 5-8 пунктов задания в любом наборе в соответствии со своей специальностью и своими интересами по согласованию с руководителем, при этом пункты 1, 2, 4, 6 являются обязательными для студентов любых специальностей. Номера задач из приложений выбираются либо по номеру студента в списке, либо по начальной букве своей фамилии по схеме:

Начальная буква А Б В Г Д Е Ж З И, Й Ка-Кл Км-Кр

Номер задания 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Кс-Кя Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц,Ч Ш,Щ,Ы Э,Ю,Я

12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

Курсовая работа выполняется аккуратно на одной стороне листа стандартного формата. Графики строятся черными или цветными карандашами средней твердости на обычной или миллиметровой бумаге. Листы с текстом курсовой работы и графики должны быть сшиты.

Текст работы должен содержать все необходимые расчеты и пояснения. В случае применения ЭВМ в работе должны содержаться блок-схема решения задачи, распечатка программы и результатов с необходимыми пояснениями.

В курсовом проекте обязательны оглавление и сквозная нумерация всех листов. Образец титульного листа содержится в приложении 9.

Курсовая работа сдается преподавателю до защиты для проверки. При защите курсовой работы студент должен показать знание теоретического курcа и умение математически ставить, решать и анализировать конкретные экономические задачи.

§4. Линейная производственная задача

Задача о рациональном использовании производственных мощностей является одной из первых задач, для решения которой были применены методы линейного программирования. В общем виде математическая модель задачи об использовании производственных мощностей может быть получена следующим образом.

Предположим, что предприятие или цех выпускает n видов изделий, имея m групп оборудования. Известны нормы времени на обработку каждого изделия на каждой группе оборудования, например, в минутах или часах и фонд времени работы каждой группы оборудования. Пусть, кроме того, известно, что из всех n видов изделий наибольшим спросом пользуются k видов. Требуется составить план производства, при котором выпуск дефицитных изделий будет наибольшим возможным.

Примем следующие обозначения:

i – номер группы оборудования (i=1,2, … , m);

j – номер вида изделия (j=1,2, … , n);

aij – норма времени на обработку единицы i-го изделия на j-ой группе оборудования;

bi– действительный фонд времени работы i-й группы оборудования;

xi–планируемое количество единиц j-го изделия;

(x1, x2, … , xn)–искомый план производства.

Какова бы ни была производственная программа (x1, x2, … , xn), ее компоненты должны удовлетворять условию, что суммарное время обработки всех изделий на данной группе оборудования не должно превышать фонда времени работы этой группы оборудования. На обработку x1 единиц первого изделия на i-й группе оборудования будет затрачено ai1x1 единиц времени, на обработку x2 единиц второго изделия на той же группе оборудования будет затрачено ai2x2 единиц времени и т.д. Необходимое время на обработку всех x1, x2, … , xn изделий на i-й группе оборудования будет равно сумме

Прикладная математика

Эта сумма не может превышать фонд времени работы i-й группы оборудования, т.е. должна быть £ bi. Выписывая такие условия для всех m групп оборудования, получаем:

Прикладная математика(1)

Так как компоненты плана суть количество изделий и, следовательно, не могут быть выражены отрицательными числами, то естественным образом добавляются условия:

x1 ³ 0, x2,³ 0,…, xn³ 0. (2)

Обозначим через сj прибыль на единицу j-го изделия. При плане производства (х1, х2, …, хn) прибыль предприятия будет равна:

z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn.(3)

Мы хотим составить производственную программу (х1, х2, …, хn) так, чтобы функция (3) приняла наибольшее значение при выполнении всех других условий.

Система линейных неравенств (1), (2) и линейная форма (3) образуют математическую модель задачи о рациональном использовании производственных мощностей. Среди всех решений системы линейных неравенств (1), удовлетворяющих условию неотрицательности (2), необходимо найти такое решение, при котором линейная форма (3) принимает наибольшее возможное значение. Это – задача линейного программирования.

Исходные параметры задачи могут быть представлены в виде технологической матрицы A затрат ресурсов на единицу продукции каждого вида, вектора B объемов ресурсов и вектора C удельной прибыли:

Прикладная математика,Прикладная математика,C=(c1, …, cn)Прикладная математика

В качестве примера рассмотрим задачу оптимизации производственной программы цеха, который может выпускать два вида изделий, имея четыре группы производственного оборудования. Пусть

Прикладная математика, Прикладная математика, Прикладная математика, или кратко Прикладная математика

Задача состоит в том, чтобы найти производственную программу, максимизирующую прибыль:

Прикладная математика (4)

при условиях:

Прикладная математика(5)

Прикладная математика (6)

Полученную задачу линейного программирования с двумя переменными можно решить графически. Система линейных неравенств (5), (6) определяет выпуклый многоугольник OPQRS допустимых решений. Линии уровня функции Z перпендикулярны вектору-градиенту grad Z=(6,9) и образуют семейство параллельных прямых (градиент указывает направление возрастания функции). Наибольшего значения функция Z достигает в точке R. Координаты этой точки определяют оптимальный план производства x1=3, x2=2, а максимальная прибыль будет равна 36.

Последовательное улучшение производственной программы

Предположим теперь, что предприятие может выпускать четыре вида продукции, используя для этого три вида ресурсов. Известна технологическая матрица А затрат любого ресурса на единицу каждой продукции, вектор В объемов ресурсов и вектор С удельной прибыли

Прикладная математика(7)

Требуется составить производственную программу, обеспечивающую предприятию наибольшую прибыль при имеющихся ограниченных ресурсах

Математическая модель задачи:

найти производственную программу

(x1, x2, x3, x4)

максимизирующую прибыль

Прикладная математика

z = 36x1+ 14x2 + 25x3 + 50x4 (8)

при ограничениях по ресурсам

Прикладная математика (9)

где по смыслу задачи

x1 ³ 0, x2 ³ 0, x3 ³ 0, x4 ³ 0. (10)

Получили задачу на условный экстремум. Для ее решения систему неравенств (9) при помощи дополнительных неотрицательных неизвестных х5, х6, х7 заменим системой линейных алгебраических уравнений

Прикладная математика(11)

где дополнительные переменные имеют смысл остатков соответствующих ресурсов. Среди всех решений системы уравнений (11), удовлетворяющих условию неотрицательности

х1³ 0, х2³ 0, … , х5³ 0, … , х7³ 0.(12)

надо найти то решение, при котором функция (8) примет наибольшее значение.

Воспользуемся тем, что правые части всех уравнений системы (11) неотрицательны, а сама система имеет предпочитаемый вид – дополнительные переменные являются базисными. Приравняв к нулю свободные переменные х1, х2, х3, х4, получаем базисное неотрицательное решение

x1=0, x2=0, x3=0, x4=0, x5=208, x6=107, x7=181(13)

первые четыре компоненты которого определяют производственную программу

x1=0, x2=0, x3=0, x4=0(14)

по которой мы пока ничего не производим.

Из выражения (8) видно, что наиболее выгодно начинать производить продукцию четвертого вида, так как прибыль на единицу продукции здесь наибольшая. Чем больше выпуск в этой продукции, тем больше прибыль. Выясним, до каких пор наши ресурсы позволяют увеличить выпуск этой продукции. Для этого придется записать для системы уравнений (11) общее решение

Прикладная математика(15)

Мы пока сохраняем в общем решении х1=х2=х3=0 и увеличиваем только х4. При этом значения базисных переменных должны оставаться неотрицательными, что приводит к системе неравенств

Прикладная математика или Прикладная математика т.е.0 £ х4 £ Прикладная математика

Дадим х4 наибольшее значение х4 =181/5, которое она может принять при нулевых значениях других свободных неизвестных, и подставим его в (15). Получаем для системы уравнений (11) частное неотрицательное решение

х1=0, х2=0, х3=0, х4=Прикладная математика; x5=27; x6=Прикладная математика; x7=0(16)

Нетрудно убедиться, что это решение является новым базисным неотрицательным решением системы линейных алгебраических уравнений (11), для получения которого достаточно было принять в системе (11) неизвестную х4 за разрешающую и перейти к новому предпочитаемому виду этой системы, сохранив правые части уравнений неотрицательными, для чего за разрешающее уравнение мы обязаны принять третье, так как

Прикладная математика

а разрешающим элементом будет а34=5. Применив известные формулы исключения, получаем для системы уравнений (11) новый предпочитаемый эквивалент

x1 + 2x2 + 2x3 + x5 - x7 = 27

Прикладная математика

Приравняв к нулю свободные переменные х1, х2, х3, х7, получаем базисное неотрицательное решение, совпадающее с (16), причем первые четыре компоненты его определяют новую производственную программу

х1=0, х2=0, х3=0, х4=Прикладная математика. (18)

Исследуем, является ли эта программа наилучшей, т.е. обеспечивает ли она наибольшую прибыль. Для этого выразим функцию прибыли (8) через новые свободные переменные х1, х2, х3, х7.

Из последнего уравнения системы (17) выражаем базисную переменную х4 через свободные и подставляем в (8). Получаем

Прикладная математика

Видим, что программа (18) не является наилучшей, так как прибыль будет расти, если мы начнем производить или первую, или вторую, или третью продукцию, но наиболее быстро функция z растет при возрастании х1. Поэтому принимаем х1 в системе (17) за разрешающую неизвестную, находим разрешающее уравнение по

Прикладная математика (20)

и исключаем х1 из всех уравнений системы (17), кроме первого уравнения. Получим следующий предпочитаемый эквивалент системы условий, который определит для системы (11) новое базисное неотрицательное решение и уже третью производственную программу, для исследования которого нам придется выразить функцию (19) через новые свободные переменные, удалив оттуда переменную х1, ставшую базисной. Мы видели выше, как это делается (удаляли х4 из (8)).

Важно обратить внимание на то, что эти удаления можно выполнить очень просто. Представим соотношение (8) в виде уравнения

-36х1 - 14х2 - 25х3 - 50х4 = 0 – z(21)

и припишем его к системе (11). Получается вспомогательная система уравнений

Прикладная математика(22)

Напомним, что разрешающую неизвестную в системе (11) мы выбрали х4. Этой переменной в последнем уравнении системы (22) отвечает наименьший отрицательный коэффициент D 4=-50. Затем мы нашли разрешающий элемент а34=5 и исключили неизвестную х4 из всех уравнений системы (11), кроме третьего. Далее нам пришлось х4 исключать и из функции (8). Теперь это можно сделать очень просто, если посмотреть на систему уравнений (22). Очевидно, достаточно умножить третье уравнение системы (22) на 10 и прибавить к четвертому; получим

-6х1 - 4х2 - 5х3 - 10х4 = 1810 – z(23)

Таким образом, мы преобразовывали вспомогательную систему уравнений (22) к виду

Прикладная математика

Первые три уравнения этой системы представляют некоторый предпочитаемый эквивалент (17) системы уравнений (11) и определяют базисное неотрицательное решение (16) и производственную программу (18), а из последнего уравнения системы (24) получается выражение (19) функции цели через свободные переменные. Очевидно, если имеется хотя бы один отрицательный коэффициент D j при какой-нибудь переменной xj в последнем уравнении системы (24), то производственная программа не является наилучшей и можно далее продолжать процесс ее улучшения. С помощью (19) мы выяснили, что следует начинать производить продукцию первого вида, т.е. фактически мы нашли в последнем уравнении системы (24) наименьший отрицательный коэффициент

min(D j<0) = min(-6, -4, -5) = -6 = D 1

и решили перевести свободную переменную х1 в число базисных, для чего, согласно (20)определили разрешающее уравнение и указали разрешающий элемент а11=1.

Учитывая сказанное выше, теперь мы будем преобразовывать не систему (17), а всю вспомогательную систему (24), по формулам исключения. Эта система преобразуется к виду

x1 + 2x2 + 2x3 + x5 - x7 = 27

3x2 - Прикладная математикаx3 - Прикладная математика x5 + x6 + Прикладная математикаx7 = 13 (25)

- x2 - Прикладная математикаx3 + x4 - Прикладная математикаx5 + Прикладная математикаx7 = 20

8x2 + 7x3 + 6x5 + 4x7 = 1972 - z

Первые три уравнения системы (25) представляют некоторый предпочитаемый эквивалент системы уравнений (11) и определяют базисное неотрицательное решение системы условий рассматриваемой задачи

x1=27, x2=0, x3=0, x4=20, x5=0, x6=13, x7=0(26)

т.е. определяют производственную программу

x1=27, x2=0, x3=0, x4=20(27)

и остатки ресурсов:

первого видах5=0

второго видах6=13(28)

третьего видах7=0

В последнем уравнении системы (25) среди коэффициентов при неизвестных в левой части уравнения нет ни одного отрицательного. Если из этого уравнения выразить функцию цели z через остальные неотрицательные переменные

z = 1972 - 8х2 - 7х3 - 6х5 - 4х7(29)

то становится совершенно очевидным (в силу того, что все xj³ 0), что прибыль будет наибольшей тогда, когда

x2=0, x3=0, x5=0, x7=0(30)

Это означает, что производственная программа (27) является наилучшей и обеспечивает предприятию наибольшую прибыль

zmax = 1972(31)

Итак, организовав направленный перебор базисных неотрицательных решений системы условий задачи, мы пришли к оптимальной производственной программе и указали остатки ресурсов, а также максимальную прибыль.

Остается заметить, что процесс решения обычно записывается в виде некоторой таблицы 1.

Таблица 1

Прикладная математика

где представлены расширенные матрицы вспомогательных систем уравнений (22) ® (24) ® (25). Эти таблицы принято называть симплексными.

Следует обратить внимание на экономический смысл элементов последней строки последней симплексной таблицы. Например, коэффициент D 3=7 при переменной х3 показывает, что если произвести одну единицу продукции третьего вида (она не входит в оптимальную производственную программу), то прибыль уменьшится на 7 единиц.

В заключение заметим, что в рассматриваемом простейшем примере линейной производственной задачи возможна самопроверка результата.

Воспользуемся тем, что в оптимальной производственной программе х2=0, х3=0. Предположим, что вторую и третью продукции мы не намеревались выпускать с самого начала. Рассмотрим задачу с оставшимися двумя переменными, сохранив их нумерацию. Математическая модель задачи будет выглядеть следующим образом:

Прикладная математика

Студенту не составит труда решить эту задачу графически и убедиться, что результаты совпадают.

Следует при этом обратить внимание на то, что последовательное улучшение производственной программы

(x1=0, x4=0) ® (x1=0, x4=Прикладная математика) ® (x1=27, x4=20)

на графике означает движение от одной вершины многогранника допустимых решений к другой вершине по связывающей их стороне многоугольника (в случае трех переменных это будет "езда" по ребрам многогранника допустимых решений от одной вершины к другой до достижения оптимальной вершины).

§5. Двойственная задача

Ранее мы рассмотрели конкретную линейную производственную задачу по выпуску четырех видов продукции с использованием трех видов ресурсов по заданным технологиям.

Теперь представим себе, что возникла новая ситуация. Знакомый предприниматель П (Петров), занимающийся производством каких-то других видов продукции, но с использованием трех таких же видов ресурсов, какие имеются у нас, предлагает нам "уступить" по определенным ценам все имеющиеся у нас ресурсы и обещает платить у1 рублей за каждую единицу первого ресурса, у2 руб – второго, у3 руб – третьего. Возникает вопрос: при каких ценах у1, у2, у3 мы можем согласиться с предложением П.

Величины у1, у2, у3 принято называть расчетными, или двойственными, оценками ресурсов. Они прямо зависят от условий, в которых действует наше предприятие.

Напомним, что в нашей задаче технологическая матрица А, вектор объемов ресурсов В и вектор удельной прибыли С имели вид

Прикладная математика

Для производства единицы продукции первого вида мы должны затратить, как видно из матрицы А, 4 единицы ресурса первого вида, 2 единицы ресурса второго вида и 3 единицы третьего (элементы первого столбца матрицы). В ценах у1, у2, у3 наши затраты составят 4у1 + 2у2 + 3у3, т.е. столько заплатит предприниматель П за все ресурсы, идущие на производство единицы первой продукции. На рынке за единицу первой продукции мы получили бы прибыль 36 руб. Следовательно, мы можем согласиться с предложением П только в том случае, если он заплатит не меньше

4у1 + 2у2 + 3у3 ³ 36.

Аналогично, во втором столбце матрицы А указаны затраты различных ресурсов на производство единицы продукции второго вида. В ценах П эти затраты составят 3у1 + 5у2 + у3, а на рынке за единицу продукции второго вида мы получили бы прибыль 14 рублей. Поэтому перед предпринимателем П мы ставим условие

3у1 + 5у2 + у3 ³ 14

и т.д. по всем видам продукции.

Учтем, что за все имеющиеся у нас ресурсы нам должны заплатить 208у1 + 107у2 + 181у3 рублей. При поставленных нами условиях предприниматель П будет искать такие значения величин у1, у2, у3, чтобы эта сумма была как можно меньше. Подчеркнем, что здесь речь идет не о ценах, по которым мы когда-то приобретали эти ресурсы, а об этих ценах, которые существенно зависят от применяемых нами технологий, объемов ресурсов и от ситуации на рынке.

Таким образом, проблема определения расчетных оценок ресурсов приводит к задаче линейного программирования: найти вектор двойственных оценок

у(у1, y2, y3)

минимизирующий общую оценку всех ресурсов

f = 208y1 + 107y2 +181y3 (1)

при условии, что по каждому виду продукции суммарная оценка всех ресурсов, затрачиваемых на производство единицы продукции, не меньше прибыли, получаемой от реализации единицы этой продукции

4y1 + 2y2 + 3y3 ³ 36

3y1 + 5y2 + y3 ³ 14

4y1 + 2y3 ³ 25

5y1 + 2y2 + 5y3 ³ 50

причем оценки ресурсов не могут быть отрицательными

y1Прикладная математика0, y2Прикладная математика0, y3Прикладная математика0. (3)

Решение полученной задачи легко найти с помощью второй основной теоремы двойственности, согласно которой для оптимальных решений Прикладная математика(х1, х2, х3, х4) и Прикладная математика(y1, y2, y3) пары двойственных задач необходимо и достаточно выполнение условий

x 1 (4y1 + 2y2 + 3y3 - 36) = 0y1 (4x1 +3x2 + 4x3 + 5x4 - 208) = 0

x 2 (3y1 + 5y2 + y3 - 14) = 0y2 (2x1 +5x2 + 2x4 - 107) = 0

x 3 (4y1 + 2y3 - 25) = 0y3 (3x1 + x2 + 2x3 + 5x4 - 181) = 0 .

x 4(5y1 + 2y2 + 5y3 - 50) = 0

Ранее было найдено, что в решении исходной задачи х1>0, x4>0. Поэтому

4y1 + 2y2 + 3y3 - 36 = 0

5y1 + 2y2 + 5y3 - 50 = 0

Если же учесть, что второй ресурс был избыточным и, согласно той же теореме двойственности, ее двойственная оценка равна нулю

у2=0,

то приходим к системе уравнений

4y1 + 3y3 - 36 = 0

5y1 + 5y3 - 50 = 0

откуда следует

у1=6, у3=4.

Таким образом, получили двойственные оценки ресурсов

у1=6; у2=0; у3=4, (4)

причем общая оценка всех ресурсов равна 1972.

Заметим, что решение (4) содержалось в последней строке последней симплексной таблицы исходной задачи. Важен экономический смысл двойственных оценок. Например, двойственная оценка третьего ресурса у3=4 показывает, что добавление одной единицы третьего ресурса обеспечит прирост прибыли в 4 единицы.

§ 6. Задача о " расшивке узких мест производства"

При выполнении оптимальной производственной программы первый и третий ресурсы используются полностью, т.е. образуют ² узкие места производства² . Будем их заказывать дополнительно. Пусть T(t1,t2,t3)- вектор дополнительных объемов ресурсов. Так как мы будем использовать найденные двойственные оценки ресурсов, то должно выполняться условие

H + Q-1T Прикладная математика 0.

Задача состоит в том, чтобы найти вектор

T (t1, 0, t3),

максимизирующий суммарный прирост прибыли

W = 6t1 + 4t3 (1)

при условии сохранения двойственных оценок ресурсов (и, следовательно, структуры производственной программы)

Прикладная математика(2)

предполагая, что можно надеяться получить дополнительно не более 1/3 первоначального объема ресурса каждого вида

Прикладная математика Прикладная математика Прикладная математика (3)

причем по смыслу задачи

t1 Прикладная математика 0, t3 Прикладная математика 0. (4)

Переписав неравенства (2) и (3) в виде:

Прикладная математика(5)

Прикладная математика(6)

Прикладная математика

приходим к задаче ЛП: максимизировать (1) при условиях (5), (6) и (4).

Эту задачу легко решить графически: см. рис. 1. Программа ² расшивки² имеет вид

t1=Прикладная математика, t2=0, t3=Прикладная математика

и прирост прибыли составит 519Прикладная математика.

Сводка результатов приведена в таблице

Таблица 1

сj

36

14

25

50

b

x4+i

yi

ti

 

4

3

4

5

208

0

6

46 5/12

aij

2

5

0

2

107

13

0

0

 

3

1

2

5

181

0

4

60 1/3

xj

27

0

0

20

1972

   

519 2/3

D j

0

8

7

0

       
§ 7. Транспортная задача линейного программирования

Транспортная задача формулируется следующим образом. Однородный продукт, сосредоточенный в m пунктах производства (хранения) в количествах а1, а2,..., аm единиц, необходимо распределить между n пунктами потребления, которым необходимо соответственно b1, b2,..., bn единиц. Стоимость перевозки единицы продукта из i-го пункта отправления в j-ый пункт назначения равна сij и известна для всех маршрутов. Необходимо составить план перевозок, при котором запросы всех пунктов потребления были бы удовлетворены за счет имеющихся продуктов в пунктах производства и общие транспортные расходы по доставке продуктов были минимальными.

Обозначим через хij количество груза, планируемого к перевозке от i-го поставщика j-му потребителю. При наличии баланса производства и потребления

Прикладная математика(1)

математическая модель транспортной задачи будет выглядеть так:

найти план перевозок

Х = (хij), i = 1,m; j = 1,n

минимизирующий общую стоимость всех перевозок

Прикладная математика(2)

при условии, что из любого пункта производства вывозится весь продукт

Прикладная математика(3)

и любому потребителю доставляется необходимое количество груза

Прикладная математика (4)

причем по смыслу задачи

х11 > 0 ,. . . ., xmn > 0. (5)

Для решения транспортной задачи чаще всего применяется метод потенциалов. Пусть исходные данные задачи имеют вид

А(а1, а2, а3) = (54; 60; 63); В(b1, b2, b3, b4) = (41; 50; 44; 30); С = Прикладная математика Прикладная математика Прикладная математикаПрикладная математикаПрикладная математика

Общий объем производства å аi = 55+60+63 = 178 больше, требуется всем потребителям å bi = 42+50+44+30 = 166, т.е. имеем открытую модель транспортной задачи. Для превращения ее в закрытую вводим фиктивный пункт потребления с объемом потребления 178-166 = 12 единиц, причем тарифы на перевозку в этот пункт условимся считать равными нулю, помня, что переменные, добавляемые к левым частям неравенств для превращения их в уравнения, входят в функцию цели с нулевыми коэффициентами.

Первое базисное допустимое решение легко построить по правилу ² северо-западного угла² .

Потребление

b1 =41

b2 =50

b3 =44

b4 =30

b5 =12

 

Производство

а1 =54

41

13

     

p1 =0

a2 =60

 

37

23

   

p2 =

a3 =63

*

 

21

30

12

p3 =

 

q1 =

q2 =

q3 =

q4 =

q5 =

 

Следует иметь в виду, что по любой транспортной таблице можно восстановить соответствующий предпочитаемый эквивалент системы уравнений (3), (4), а в таблице записаны лишь правые части уравнений, причем номер клетки показывает, какая неизвестная в соответствующем уравнении является базисной. Так как в системе (3), (4) ровно m + n - 1 линейно независимых уравнений, то в любой транспортной таблице должно быть m + n - 1 занятых клеток.

Обозначим через

m Прикладная математика)

вектор симплексных множителей или потенциалов. Тогда

D ij = m Aij - сij i = 1,m; j = 1,n

откуда следует

D ij = pi + qj - cij i = 1,m; j = 1,n(6)

Один из потенциалов можно выбрать произвольно, так как в системе (3), (4) одно уравнение линейно зависит от остальных. Положим, что р1 = 0. Остальные потенциалы находим из условия, что для базисных клеток Прикладная математика. В данном случае получаем

D 11 = 0, p1 + q1 - c11 = 0,0+q1 -1 = 0,q1 = 1

D 12 = 0, p1 + q2 - c12 = 0,0+q2 -4 = 0,q2 = 4

D 22 = 0, p2 + q2 - c22 = 0,р2 +4-6 = 0,р2 = 2

и т.д., получим: q3=0, p3=6, q4= 1, q5= -6.

Затем по формуле (6) вычисляем оценки всех свободных клеток:

D 21 = p2 + q5 - c21 = 2+1-3 = 0

D 31 = p3 + q1 - c31 = 6+1-2 = 5

D 32 = 5; D 13 = -3; D 14 = -1; D 24 = -2; D 15 = -6; D 25 = -4.

Находим наибольшую положительную оценку

max (Прикладная математика) = 5 = Прикладная математика

Для найденной свободной клетки 31 строим цикл пересчета - замкнутую ломаную линию, соседние звенья которой взаимно перпендикулярны, сами звенья параллельны строкам и столбцам таблицы, одна из вершин находится в данной свободной клетке, а все остальные - в занятых клетках. Это будет 31-11-12-22-23-33. Производим перераспределение поставок вдоль цикла пересчета

Прикладная математика

Прикладная математика= 21

Получаем второе базисное допустимое решение:

Прикладная математика

Находим новые потенциалы, новые оценки. Наибольшую положительную оценку будет иметь свободная клетка 14. Для нее строим цикл пересчета 14-11-31-34 производим перераспределение

Прикладная математика

r max = 20

и получаем третье базисное допустимое решение. Продолжаем процесс до те пор, пока не придем к таблице, для которой все

D ij £ 0 i = 1,m; j = 1,n

Читателю не составит труда проверить, что будет оптимальным базисное допустимое решение

Прикладная математика

§ 8. Динамическое программирование. Распределение капитальных вложений

Динамическое программирование - это вычислительный метод для решения задач управления определенной структуры. Данная задача с n переменными представляется как многошаговый процесс принятия решений. На каждом шаге определяется экстремум функции только от одной переменной.

Знакомство с методом динамического программирования проще всего начать с рассмотрения нелинейной задачи распределения ресурсов между предприятиями одного производственного объединения или отрасли. Для определенности можно считать, что речь идет о распределении капитальных вложений.

Предположим, что указано n пунктов, где требуется построить или реконструировать предприятия одной отрасли, для чего выделено b рублей. Обозначим через fi(xi) прирост мощности или прибыли на j-м предприятии, если оно получит xi рублей капитальных вложений. Требуется найти такое распределение (x1,x2, ... , xn) капитальных вложений между предприятиями, которое максимизирует суммарный прирост мощности или прибыли

z = f1(x1) + f2(х2) + ... + fn(xn)

при ограничении по общей сумме капитальных вложений

x1 + x2 + ... + xn = b

причем будем считать, что все переменные xj принимают только целые неотрицательные значения

xj = 0, или 1, или 2, или 3, ...

Функции fj(xj) мы считаем заданными, заметив, что их определение - довольно трудоемкая экономическая задача.

Воспользуемся методом динамического программирования для решения этой задачи.

Введем параметр состояния и определим функцию состояния. За параметр состояния x примем количество рублей, выделяемых нескольким предприятиям, а функцию состояния Fk(x ) определим как максимальную прибыль на первых k предприятиях, если они вместе получают x рублей. Параметр x может изменяться от 0 до b. Если из x рублей k-е предприятие получит xk рублей, то каково бы ни было это значение, остальные x - xk рублей естественно распределить между предприятиями от первого до (К-1)-го так, чтобы была получена максимальная прибыль Fk-1(x - xk). Тогда прибыль k предприятий будет равна fk(xk) + Fk-1(x - xk). Надо выбрать такое значение xk между 0 и x , чтобы эта сумма была максимальной, и мы приходим к рекуррентному соотношению

Fk(x )=max{fk(xk) + Fk-1(x -xk)}

0 £ xk £ x

для k = 2, 3, 4, ... , n . Если же k=1, то

F1(x ) = f1(x )

Рассмотрим конкретный пример. Пусть производственное объединение состоит из четырех предприятий (n=4). Общая сумма капитальных вложений равна 700 тыс. рублей (b=700), выделяемые предприятиям суммы кратны 100 тыс. рублей. Значения функций fj(xj) приведены в таблице 1, где, например, число 88 означает, что если третье предприятие получит 600 тыс. руб. капитальных вложений, то прирост прибыли на этом предприятии составит 88 тыс. руб.

Таблица I

Прикладная математика

Прежде всего заполняем табл. 2. Значения f2(x2) складываем со значениями F1(x - x2) = f1(x - x2) и на каждой северо-восточной диагонали находим наибольшее число, которое отмечаем звездочкой и указываем соответствующее значение Прикладная математика. Заполняем таблицу 3.

Продолжая процесс, табулируем функции F3(x ), Прикладная математика(x ) и т.д. В табл. 6 заполняем только одну диагональ для значения x = 700. Наибольшее число на этой диагонали:

Zmax = 155 тыс. руб.,

причем четвертому предприятию должно быть выделено

х*4 = Прикладная математика4 (700) = 300 тыс. руб.

На долю остальных трех предприятий остается 400 тыс. руб. Из табл. 5 видно, что третьему предприятию должно быть выделено

x*3 = Прикладная математика3 (700-x*4) = Прикладная математика3 (400) = 200 тыс. руб.

Продолжая обратный процесс, находим

x*2 = Прикладная математика2 (700 - x*4 - x*3) = Прикладная математика2 (200) = 100 тыс. руб.

На долю первого предприятия остается

x*1 = 700 - x*4 - x*3 - x*2 = 100 тыс. руб.

Таким образом, наилучшим является следующее распределение капитальных вложений по предприятиям:

x*1 =100; x*2 =100; x*3 = 200; x*4 = 300.

Оно обеспечивает производственному объединению наибольший воможный прирост прибыли 155 тыс. руб.

Студенту рекомендуется проверить выполнение равенства

f1(x*1) + f2(x*2) + f3(x*3) + f4(x*4) = z max

Таблица 2

Прикладная математика

 

Таблица 3

Прикладная математика Прикладная математика § 9. Динамическая задача управления производством >и запасами

Предприятие производит партиями некоторые изделия. Предположим, что оно получило заказы на n месяцев. Размеры заказов значительно меняются от месяца к месяцу. Поэтому иногда лучше выполнять одной партией заказы нескольких месяцев, а затем хранить изделия, пока они не потребуются, чем выполнять заказ в тот именно месяц, когда этот заказ должен быть отправлен. Необходимо составить план производства на указанные n месяцев с учетом затрат на производство и хранение изделий. Обозначим:

xj - число изделий, производимых в j -й месяц;

yj - величина запаса к началу j го месяца (это число не содержит изделий, произведенных в j -м месяце);

dj - число изделий, которые должны быть отгружены в j -й месяц;

fj (xj,yj+1) - затраты на хранение и производство изделий в j -м месяце.

Будем считать, что величины запасов к началу первого месяца y1 и к концу последнего yn+1 заданы.

Задача состоит в том, чтобы найти план производства

(x1, x2, ..., xn)(1)

компоненты которого удовлетворяют условиям материального баланса

xj + yj - dj = yj+1j = 1,n(2)

и минимизируют суммарные затраты за весь планируемый период

Прикладная математика(3)

причем по смыслу задачи

xj ³ 0, yj ³ 0, j = 1,n(4)

Прежде чем приступить к решению поставленной задачи, заметим, что для любого месяца j величина yj+1 запаса к концу месяца должна удовлетворять ограничениям

0 £ yj+1 £ dj+1 + dj+2 + ... + dn(5)

т.е. объем производимой продукции xj на этапе j может быть настолько велик, что запас yj+1 удовлетворяет спрос на всех последующих этапах, но не

имеет смысла иметь yj+1 больше суммарного спроса на всех последующих этапах. Кроме того, из соотношений (2) и (4) непосредственно следует, что переменная xj должна удовлетворять ограничениям

0 £ xj £ dj + yj+1 (6)

Следует также заметить, что переменные xj, yj могут принимать только целые неотрицательные значения, т.е. мы получили задачу целочисленного нелинейного программирования.

Будем решать задачу (1)-(6) методом динамического программирования.

Введем параметр состояния и составим функцию состояния.

За параметр состояния x примем наличный запас в конце k -го месяца

x = yk+1(7)

а функцию состояния Fk(x ) определим как минимальные затраты за первые k месяцев при выполнении условия (5)

Прикладная математика (8)

где минимум берется по неотрицательным целым значениям x1,...,xk, удовлетворяющим условиям

xj + yj - dj = yj+1j = 1, k-1 (9)

xk + yk - dk = x (10)

Учитывая, что

Прикладная математика (11)

и величина запаса yk к концу (k-1) периода, как видно из уравнения (10), равна

yk = x + dk - xk (12)

приходим к рекуррентному соотношению

Прикладная математика (13)

где минимум берется по единственной переменной xk, которая, согласно (6) может изменяться в пределах

0 £ xk £ dk + x (14)

принимая целые значения, причем верхняя граница зависит от значений параметра состояния, изменяющегося в пределах

0 £ x £ dk+1 + dk+2 + ... + dn(15)

а индекс k может принимать значения

k = 2, 3, 4, ... , n (16)

Если k=1, то

Прикладная математика(17)

где

x1 = x + d1 - y1(18)

0£ x £ d2 + d3 + ... + dn(19)

т.е. на начальном этапе при фиксированном уровне y1 исходного запаса каждому значению параметра x отвечает только одно значение переменной x1, что несколько уменьшает объем вычислений.

Применив известную вычислительную процедуру динамического программирования, на последнем шаге (при k = n) находим значение последней компоненты xn* оптимального решения, а остальные компоненты определяем как

Прикладная математика(20)

Рассмотрим более подробно функции затрат fj(xj, yj+1) и рекуррентные соотношения. Пусть

j j(xj) = axj2 + bxj + c

j j (xj) - затраты на производство (закупку) xj единиц продукции на этапе j;

hj - затраты на хранение единицы запаса, переходящей из этапа j в этап j+1.

Тогда затраты на производство и хранение на этапе j равны

fj(xj, yj+1) = j j(xj) + hj yj+1 = axj2 + bxj + c + hj yj+1.(21)

Выведенные ранее рекуррентные соотношения динамического программирования для решения задачи управления производством и запасами в нашем случае принимают вид:

Прикладная математика(22)

где

k = 2, 3, ... , n(23)

0 £ yk+1 £ dk+1 + dk+1 + ... + dn (24)

0 £ xk £ dk + yk+1(25)

yk = yk+1 + dk - xk(26)

Если же k=1, то

Прикладная математика

Остается заметить, что полезно обозначить выражение в фигурных скобках через

W k(xk, yk+1) = axj2 + bxj + c + hkyk+1 + Fk-1(yk)(31)

и записать рекуррентное соотношение (22) в виде

Прикладная математика(32)

где минимум берется по целочисленной переменной xk, удовлетворяющей условию (25).

Пример. Рассмотрим трехэтапную систему управления запасами с дискретной продукцией и динамическим детерминированным спросом.

Пусть спрос (заявки) потребителей на нашу продукцию составляют: на первый этап d1=3 единицы, на второй – d2=2, на третий - d3=4 единицы. К началу первого этапа на складе имеется только 2 единицы продукции, т.е. начальный уровень запаса равен y1=2. Затраты на хранение единицы продукции на разных этапах различны и составляют соответственно h1=1, h2=3, h3=2. Затраты на производство xj единиц продукции на j-м этапе определяются функцией

j j(xj) = xj2 + 5xj + 2 Прикладная математика(33)

т.е. а=1; b=5; с=2. Требуется указать, сколько единиц продукции на отдельных этапах следует производить, чтобы заявки потребителей были удовлетворены, а наши общие затраты на производство и хранение за все три этапа были наименьшими.

Исходные данные задачи можно кратко записать одной строкой:

d1 d2 d3 a b c h1 h2 h3y1

1 2 4 15 2 1 3 22

Воспользовавшись рекуррентными соотношениями, последовательно вычисляем

F1 (x = y2), F2 (x = y3), ..., Fk (x = yk+1), ... и соответственно находим Прикладная математика1 (x = y2), Прикладная математика2 (x = y3 ), ..., ` Прикладная математикаk (x = yk+1), ...

Положим k = 1. Согласно (27) имеем

Прикладная математика(34)

Учтем, что согласно (28) параметр состояния x = у2 может принимать целые значения на отрезке

0 Прикладная математика у2 Прикладная математика d2 + d3

0 Прикладная математика y2 Прикладная математика 2 + 4

т.е.

у2 = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

При этом, вообще говоря, каждому значению параметра состояния должна отвечать определенная область изменения переменной x1, характеризуемая условием (29)

0 Прикладная математика х1 Прикладная математика 3 + у2

Однако, на первом этапе объем производства х1 не может быть меньше единицы, так как спрос d1 = 3, а исходный запас у1 = 2. Более того, из балансового уравнения

х1 + у1 - d1 = у2

непосредственно следует, что объем производства связан со значением параметра состояния x = у2 соотношением

x1 = y2 + d1 - y1 = y2 + 3 - 2 = y2 +1(35)

В этом и состоит особенность первого этапа. Если задан уровень запаса к началу первого этапа, то каждому значению у2 отвечает единственное значение х1 и потому

F1(x = y2) = W 1 (x1, y2)

Придавая у2 различные целые значения от 0 до 6 и учитывая (35), находим

y2 = 0,x1 = 0+1 = 1,W 1 (1;0) = 12 + 5× 1 + 2 + 1× 0 = 8

y2 = 1, x1 = 1+1 = 2,W 1 (2;1) = 22 + 5× 2 + 2 + 1× 1 = 17

и т.д. Значения функции состояния F1(x ) представлены в табл. 1

Таблица 1

x = y2

0

1

2

3

4

5

6

F1 (x = y2)

8

17

28

41

56

73

92

x1(x =y2)

1

2

3

4

5

6

7

Переходим ко второму этапу. Полагаем k = 2 и табулируем функцию

F2(x = y3) с помощью соотношения (32)

Прикладная математика(37)

Здесь минимум берется по единственной переменной х2, которая может изменяться, согласно (25), в пределах

0 £ x2 £ d2 + y3 или 0 £ x2 £ 2 + y3(38)

где верхняя граница зависит от параметра состояния x = у3, который, согласно (15), принимает значения на отрезке

0 £ y3 £ d3 , т.е. 0 £ y3 £ 4(39)

а аргумент у2 в последнем слагаемом справа в соотношении (37) связан с х2 и у3 балансовым уравнением

x2 + y2 - d2 = y3

откуда следует

y2 = y3 + d2 - x2 = y3 + 2 - x2(40)

Придавая параметру состояния различные значения от 0 до 4, будем последовательно вычислять W 2 (x2, x ), а затем определять F2(x ) и Прикладная математика2(x ).

Положим, например x = у3 = 2. Тогда, согласно (38),

0 £ x2 £ 4,

т.е. переменная х2 может принимать значения: 0, 1, 2, 3, 4, а каждому значению х2 отвечает определенное значение у2, вычисляемое по формуле (40):

у2 = 4 - х2

Последовательно находим:

если x2 = 0, то y2 = 4-0 = 4,W 2 (0,2) = 02 + 5× 0 + 2 + 3× 2 + F1(4) = 8 + 56 = 64,

x2 = 1, y2 = 4-1 = 3, W 2 (1,2) = 12 + 5× 1 + 2 + 3× 2 + F1(3) = 14 + 41 = 55,

x2 = 2, y2 = 4-2 =2, W 2 (2,2) = 22 + 5× 2 + 2 + 3× 2 + F1(2) = 22 + 28 = 50,

x2 = 3, y2 = 4-3 = 1, W 2 (3,2) = 32 + 5× 3 + 2 + 3× 2 + F1(1) = 32 + 17 = 49*,

x2 = 4, y2 = 4-4 = 0, W 2 (3,2) = 42 + 5× 4 + 2 + 3× 2 + F1(0) = 44 + 8 = 52.

Наименьшее из полученных значений W 2 есть F2 (2), т.е.

 

причем минимум достигается при значении х2, равном

` Прикладная математика2 (x = y3 = 2) = 3

Аналогично для значения параметра x = у3 = 3, проведя необходимые вычисления, найдем

F2 (x = y3 = 3) = 63;` Прикладная математика2 (x = y3 = 3) = 3.

Процесс табулирования функции F2 (x = y3) приведен в табл. 2, а результаты табулирования сведены в табл. 3.

Таблица 3

x = у3

0

1

2

3

4

F2 (x = y3)

24

36

49

63

78

Прикладная математика(x = y3)

2

2

3

3

4

Переходим к следующему этапу. Полагаем k=3 и табулируем функцию F3 (x = y4):

Прикладная математика

Вычисляем значение функции состояния только для одного значения аргумента x = у4 = 0, так как не хотим оставлять продукцию в запас в конце исследуемого периода. Процесс вычислений приведен в табл. 4. Получаем

Прикладная математика

причем минимум достигается при двух значениях переменной х3, равных

` Прикладная математика3 (x = y4 = 0) = 3 или ` Прикладная математика3 (x = y4 = 0) = 4.

Таким образом, мы получили не только минимальные общие затраты на производство и хранение продукции, но и последнюю компоненту оптимального решения. Она равна

Прикладная математика= 3 или Прикладная математика= 4.

Рассмотрим случай, когда на последнем этапе планируем выпускать три единицы продукции

Прикладная математика= 3.

Остальные компоненты оптимального решения найдем по обычным правилам метода динамического программирования. Чтобы найти предпоследнюю компоненту, учтем, что

х3 + у3 - d3 = y4

или

3 + у3 - 4 = 0,

откуда

у3 = 1.

Из таблицы (3) значений Прикладная математика находим

Прикладная математика

Аналогично, продолжая двигаться в обратном направлении и учтя, что

х2 + у2 - d2 = y3

Прикладная математика

Прикладная математика

Прикладная математика

xk

yk = yk+1 + dk - xk

W k(xk, yk+1) =j k(xk) + hkyk+1 + Fk-1(yk)

0 £ y3 £ d3

x = y3

0 £ x2 £ d2 + y3

x2

y2 = y3 + d2 - x2

W 2(x2, y3) = aПрикладная математика + bx + c + h2y3 + F1(y2)

0 £ y3 £ 4

x = y3

0 £ x2 £ 2 + y3

x2

y2 = y3 + 3 - x2

Прикладная математика

 

y3 = 0

0 £ x2 £ 2

x2 = 0

x2 = 1

x2 = 2

y2 = 2-0 = 2

y2 = 2- 1 = 1

y2 = 2-2 = 0

W 2(0;0) = 02 + 5× 0 + 2 + 3× 0 + F1(2) =2+28 =30

W 2(1;0) = 12 + 5× 1 + 2 +3× 0 + F1(1)=8+17 =25

W 2(2;0) = 22 +5× 2 + 2 + 3× 0 +F1(0) =16+8=24*

 

y3 = 1

0 £ x2 £ 3

x2 = 0

x2 = 1

x2 = 2

x2 = 3

y2 = 3 - 0 = 3

y2 = 3-1 = 2

y2 = 3-2 = 1

y2 = 3-3 = 0

W 2(0;1) = 02 + 5× 0 + 2 + 3× 1 + F1(3) = 5+41=46

W 2(1;1) = 12 + 5× 1 + 2 + 3× 1 + F1(2) =11+28 =39

W 2(2;1) = 22 + 5× 2 + 2 + 3× 1 + F1(1)=19+17 =36*

W 2(3;1) = 32 + 5× 3 + 2 + 3× 1 + F1(0)=29+8 =37

 

y3 = 2

.......................

........

............................

.............................................................

 

y3 = 3

0 £ x2 £ 5

x2 = 0

x2 = 1

x2 = 2

x2 = 3

x2 = 4

x2 = 5

y2 = 5 - 0 = 5

y2 = 5 - 1 = 4

y2 = 5 - 2 = 3

y2 = 5 - 3 = 2

y2 = 5 - 4 = 1

y2 = 5 - 5 = 0

W 2(0;3) = 02 + 5× 0 + 2 + 3× 3 + F1(5) = 11+73=84

W 2(1;3) = 12 + 5× 1 + 2 + 3× 3 + F1(4) =17+56 =73

W 2(2;3) = 22 + 5× 2 + 2 + 3× 3 + F1(3)=25+41 =66

W 2(3;3) = 32 + 5× 3 + 2 + 3× 3 + F1(2)=35+28 =63*

W 2(4;3) = 42 + 5× 4 + 2 + 3× 3 + F1(1)=47+17 =64

W 2(5;3) = 52 + 5× 5 + 2 + 3× 3 + F1(0)=61+8 =69

 

y3 = 4

0 £ x2 £ 6

x2 = 0

x2 = 1

x2 = 2

x2 = 3

x2 = 4

x2 = 5

x2 = 6

y2 = 6 - 0 = 6

y2 = 6 - 1 = 5

y2 = 6 - 2 = 4

y2 = 6 - 3 = 3

y2 = 6 - 4 = 2

y2 = 6 - 5 = 1

y2 = 6 - 6 = 0

W 2(0;4) = 02 + 5× 0 + 2 + 3× 4 + F1(6) = 14+92=106

W 2(1;4) = 12 + 5× 1 + 2 + 3× 4 + F1(5) =20+73 =93

W 2(2;4) = 22 + 5× 2 + 2 + 3× 4 + F1(4)=28+56 =84

W 2(3;4) = 32 + 5× 3 + 2 + 3× 4 + F1(3)=38+41 =79

W 2(4;4) = 42 + 5× 4 + 2 + 3× 4 + F1(2)=50+28 =78*

W 2(5;4) = 52 + 5× 5 + 2 + 3× 4 + F1(1)=64+17 =81

W 2(6;4) = 62 + 5× 6 + 2 + 3× 4 + F1(0)=80+8 =88

Прикладная математика

Прикладная математика

Прикладная математика

xk

yk = yk+1 + dk - xk

W k(xk, yk+1) = j k(xk) + hkyk+1 + Fk-1(yk)

0 £ y4 £ 0

x = y4

0 £ x3 £ d3 + y4

x3

y3 = y4 + d3 - x3

W 3(x3, y4) = a1+ bx3 + c + h3y4 + F2(y3)

y4 = 0

x = y4

0 £ x3 £ 4

x3

y3 = y4 + 4 - x3

Прикладная математика

 

y4 = 0

0 £ x3 £ 4

x3 = 0

x3 = 1

x3 = 2

x3 = 3

x3 = 4

y3 = 4-0 = 4

y3 = 4- 1 = 3

y3 = 4-2 = 2

y3 = 4-3 = 1

y3 = 4-4 = 0

W 3(0;0) = 02 + 5× 0 + 2 + 2× 0 + F2(4)=2+78=80

W 3(1;0) = 12 + 5× 1 + 2 + 2× 0 + F2(3)=8+63=71

W 3(2;0) = 22 + 5× 2 + 2 + 2× 0 + F2(2)=16+49=65

W 3(3;0) = 32 + 5× 3 + 2 + 2× 0 + F2(1)=26+36=62*

W 3(4;0) = 42 + 5× 4 + 2 + 2× 0 + F2(0)=38+24=62*

Самопроверка результатов Таблица 5

Этапы

январь

февраль

март

Итого за 3 месяца

Имеем продукции к началу месяца, шт.

у1 = 2

у2 = 1

у3 = 1

у1 = 2

Производим в течение месяца, шт.

х1 = 2

х2 = 2

х3 = 3

х1+ х2+ х3 = 7

Отпускаем заказчикам, шт.

d1 = 3

d2 = 2

d3 = 4

d1+ d2+ d3 = 9

Остаток к концу месяца (храним в течение текущего месяца), шт.

у2 = 1

у3 = 1

у4 = 0

 

Затраты на производство, руб.

j (х1)=16

j (х2)=16

j (х3)=26

j (х1) + j (х2) + j (х3) = 58

Затраты на хранение, руб.

h1у2 = 1

h2у3 = 3

0

h1у2 + h2у3 = 4

или

2 + у2 - 2 = 1,

получаем

у2 = 1;

из таблицы (2) значений х1(x ) находим

Прикладная математика.

Итак, оптимальный план производства имеет вид

х1 = 2

х2 = 3

х3 = 3,

а минимальные общие затраты составляют 62 единицы.

Полезна самопроверка полученного результата. Для этого по исходным данным и найденному плану производства заполняем таблицу 5 и убеждаемся, что заявки потребителей на каждом этапе выполняются

у1 + х1 ³ d1у2 + х2 ³ d2у3 + х3 ³ d3

2 + 2 ³ 31 + 2 ³ 21 + 3 ³ 4

и что суммарный объем производства и имевшегося к началу первого этапа запаса продукции равен суммарной потребности

у1 + х1 + х2 + х3 = d1 + d2 + d3

2 + 2 + 2 + 3 = 3 + 2 + 4

причем это достигается при наименьших возможных затратах на производство и хранение продукции

j (х1) + j (х2) + j (х3) + h1у2 + h2у3 = F3(y4=0)

16 + 16 + 26 + 1 + 4 = 62

Студенту рекомендуется найти другой вариант оптимальной производственной программы, когда на последнем этапе предполагается произвести 4 единицы продукции, и так же выполнить самопроверку.

§10. Матричная модель производственной программы предприятия

Предприятие состоит из n цехов. Каждый цех выпускает только один вид продукции. Пусть j-й цех выпускает xj единиц продукции, из которых yj единиц отправляет за пределы предприятия как товарную продукцию, а остающаяся часть используется другими цехами предприятия.

Пусть ajk – кол-во продукции j-го цеха, расходуемое на производство единицы продукции k-го цеха. Числа aij образуют матрицу А коэффициентов прямых затрат, называемую структурной. Производственная программа предприятия представляется вектором X(x1, … , xn), а выпуск товарной продукции – вектором У(у1, … , уn). Очевидно,

(Е - А)Х = У или Х = (Е - А)-1У.

Элементы любого столбца матрицы (Е - А)-1, называемой матрицей коэффициентов полных затрат, показывают затраты всех цехов, необходимые для обеспечения выпуска единицы товарного продукта того цеха, номер которого совпадает с номером данного столбца.

При заданном векторе У выпуска товарной продукции легко определить производственную программу Х и наоборот.

Дополним структурную матрицу А матрицей В коэффициентов прямых затрат, получаемых со стороны сырья, полуфабрикатов и т.п. Очевидно, затраты получаемых со стороны материалов определяются элементами матрицы S, где

В = (Е - А)-1У = S

Зная закупочные цены сырья и рыночные цены готовой продукции, можно подсчитать прибыль.

§11. Матричная игра как модель конкуренции и сотрудничества

Пусть игроки – Первый и Второй, играют в матричную игру с матрицей Прикладная математика. Пусть стратегия Первого есть Прикладная математика, а Второго – Прикладная математика. Тогда выигрыш Первого есть случайная величина (с.в.) Прикладная математика с рядом распределения:

Прикладная математика

a1j

 

 

Прикладная математика

 

 

Прикладная математика

 

Прикладная математика

 

 

Прикладная математика

 

 

Прикладная математика

Математическое ожидание этой с.в., т.е. Прикладная математика есть средний выигрыш Первого. Пусть Прикладная математика есть дисперсия этой с.в. Естественно назвать среднее квадратическое отклонение с.в. Прикладная математика, т.е. Прикладная математика риском для Первого при игре со стратегиями Прикладная математика. Поскольку выигрыш Первого есть проигрыш для Второго, то Прикладная математика есть случайный проигрыш Второго и Прикладная математика вполне естественно можно назвать риском игры с такими стратегиями и для Второго.

Предположим сначала, что игроки озабочены только максимизацией среднего дохода за партию игры – обычная цель в таких играх. Тогда игроки будут играть со своими оптимальными стратегиями: Прикладная математика – Первый игрок и Прикладная математика – Второй.

Математическое ожидание с. в. Прикладная математика называется ценой игры, обозначим ее Прикладная математика.

Но что же назвать риском всей игры?

Вычислим дисперсию выигрыша Первого при оптимальных стратегиях игроков.

Прикладная математика.

Так как Прикладная математика, а через Прикладная математика сумма обозначена Прикладная математика.

Заметим, что в сумме Прикладная математика можно оставить лишь те слагаемые, у которых Прикладная математика

Заметим теперь, что если Первый играет со стратегией Прикладная математика, а Второй отвечает Прикладная математика-й чистой стратегией, то выигрыш первого есть с.в. с рядом распределения:

Прикладная математика

a1j

 

 

Прикладная математика

 

 

Прикладная математика

 

Прикладная математика

 

 

Прикладная математика

 

 

Прикладная математика

Если Прикладная математика есть оптимальная стратегия Первого, а Прикладная математика, то из теории матричных игр с нулевой суммой известно, что выигрыш Первого при таких стратегиях по-прежнему равен цене игры Прикладная математика, а дисперсия выигрыша Первого при этом равна Прикладная математика, то есть равна Прикладная математика. Таким образом, что происходит с риском выигрыша Первого, можно понять, сравнив дисперсию при оптимальных стратегиях Прикладная математика и дисперсию Прикладная математика или величины Прикладная математика и Прикладная математика. Пусть Прикладная математика Как легко понять, если среди Прикладная математика есть разные числа, то Прикладная математика

Теперь можно сделать следующий вывод:

Чуть-чуть отойдя от своей оптимальной стратегии (смотрите ниже Пример) и таким образом почти не уменьшив свой выигрыш, Первый может значительно уменьшить свой риск. При этом уменьшается и риск Второго, что отвечает и его интересам.

Чисто математически можно сказать, что в описанной ситуации риск выигрыша Первого не зависит от его стратегии непрерывно.

Рассмотрим подробно пример матричной игры с матрицей Прикладная математика. Как известно, общий случай в окрестности оптимальных стратегий игроков сводится к анализу такой игры.

Пример. Пусть матрица игры есть Прикладная математика. Графическое решение этой игры показано на рисунке 1.

Прикладная математика

Цена игры Прикладная математика, оптимальные стратегии игроков есть Прикладная математика, Прикладная математика. Дисперсия выигрыша Первого при оптимальных стратегиях Прикладная математика, т. е. риск игры равен примерно 1. Далее вычисления дают Прикладная математика, Прикладная математика; Прикладная математика,Прикладная математика Примерная, но достаточно точная зависимость риска Первого в малой окрестности его оптимальной стратегии показана на рис. 2.

Прикладная математика

Как видно из рис. 2 при отходе Первого от своей оптимальной стратегии вправо, т. е. при увеличении вероятности x выбора им 1-й строки. Второй начинает отвечать 1-й чистой стратегией и риск Первого скачком увеличивается до Прикладная математика, а при отходе Первого от своей оптимальной стратегии влево Второй переходит на свою 2-ю чистую стратегию и риск Первого скачком снижается до Прикладная математика

Аналогичное верно и в отношении Второго. Кратко повторим. Примерная, но достаточно точная зависимость риска Второго в малой окрестности его оптимальной стратегии показана на рис. 3. Как видно из рис. 3 при отходе второго от своей оптимальной стратегии вправо, т. е. при увеличении вероятности у выбора им 1-й строки Первый начинает отвечать 2-й чистой стратегией и риск Второго скачком уменьшается до Прикладная математика, а при отходе второго от своей оптимальной стратегии влево Первый переходит на свою 1-ю чистую стратегию и риск Второго скачком увеличивается до Прикладная математика

Пусть Прикладная математика. Эту величину и можно назвать риском всей игры. Однако играть с таким риском можно лишь при согласии обеих сторон. Для анализируемой игры Прикладная математика и игроки для достижения такого риска должны играть так: Первый играет со своей оптимальной стратегией Прикладная математика 3,5), а Второй должен использовать 2-ю чистую стратегию.

§ 12. Анализ доходности и риска финансовых операций

Финансовой называется операция, начальное и конечное состояния которой имеют денежную оценку и цель проведения которой заключается в максимизации дохода - разности между конечной и начальной оценками.

Почти всегда финансовые операции проводятся в условиях неопределенности и потому их результат невозможно предсказать заранее. Поэтому финансовые операции рискованны, т.е. при их проведении возможны как прибыль так и убыток (или не очень большая прибыль по сравнению с той, на что надеялись проводившие эту операцию).

Как оценить операцию с точки зрения ее доходности и риска?

Существует несколько разных способов. Наиболее распространенным является представление дохода операции как случайной величины и оценка риска операции как среднего квадратического отклонения этого случайного дохода.

Рассмотрим какую-нибудь операцию, доход которой есть случайная величина Q. Средний ожидаемый доход ` Q - это математическое ожидание с.в. Q: Прикладная математика, где pi есть вероятность получить доход qi. А среднее квадратическое отклонение (СКО) Прикладная математика - это мера разбросанности возможных значений дохода вокруг среднего ожидаемого дохода. Вполне разумно считать s количественной мерой риска операции и обозначить r. Напомним, что дисперсия

D[Q] = M [(Q - ` Q)2] = M [Q2] - ` Q2.

Рассмотрим четыре операции Q1, Q2, Q3, Q,4. Найдем средние ожидаемые доходы ` Qi и риски ri операций.

Ряды распределения, средние ожидаемые доходы и риски:

Q1

:

5

2

8

4

` Q1 = 29/6 » 4.81

r1 » 1.77

   

1/2

1/6

1/6

1/6

   
               

Q2

:

2

3

4

12

` Q2 = 25/6 » 4.16

r2 » 3.57

   

1/2

1/6

1/6

1/6

   
               
               

Q3

:

8

5

3

10

` Q3 = 7

r3 » 2.30

   

1/2

1/6

1/6

1/6

   
               

Q4

:

1

4

2

8

` Q4 = 17/6 » 2.81

r4 » 2.54

   

1/2

1/6

1/6

1/6

   

Напомним, как находить Q и r.

Прикладная математика

r1 = M [Q21 ] - (Q1)2; M [Q21] = 25*1/2+4*1/6+64*1/6+16*1/6=159/6;

Q21 = 841/36; D [Q1] = (159*6-841)/36 = 113/36; Прикладная математика

Нанесем средние ожидаемые доходы ` Q и риски r на плоскость - доход откладываем по горизонтали, а риски по вертикали (см. рис.):

Прикладная математика

Получили 4 точки. Чем правее точка (` Q, r), тем более доходная операция, чем точка выше - тем более она рисковая. Значит, нужно выбирать точку правее и ниже. Точка (` Q¢ , r¢ ) доминирует точку (` Q, r) если ` Q¢ ³ ` Q и r¢ £ r. В нашем случае 1-я операция доминирует 2-ю, 3-я доминирует 2-ю и 3-я доминирует 4-ю. Но 1-я и 3-я операции несравнимы - доходность 3-й больше, но и риск ее тоже больше.

Точка, не доминируемая никакой другой называется оптимальной по Парето, а множество всех таких точек называется множеством оптимальности по Парето. Легко видеть, что если из рассмотренных операций надо выбирать лучшую, то ее обязательно надо выбрать из операций, оптимальных по Парето.

Для нахождения лучшей операции иногда применяют подходящую взвешивающую формулу, которая для пар (` Q, r) дает одно число, по которому и определяют лучшую операцию. Например, пусть взвешивающая формула есть j (Q)= 2× Q - r . Тогда получаем:

j (Q1)= 2*4.81-1.77 = 7.85; j (Q2)= 4.75; j (Q3)= 11.70; j (Q4)= 3.08

Видно, что 3-я операция - лучшая, а 4-я - худшая.

§ 13. Задача формирования оптимального портфеля ценных бумаг.

На финансовом рынке обращается, как правило, множество ценных бумаг: государственные ценные бумаги, акции частных фирм, векселя и т.п. Ценная бумага удостоверяет возможность получения некоторого дохода. В общем случае владелец получит некоторый случайный доход.

Из характеристик ценных бумаг наиболее значимы две: эффективность и рискованность. Эффективность E есть некоторый обобщенный показатель дохода или прибыли. Будем считать E случайной величиной, ее математическое ожидание есть mЕ.

При исследовании финансового рынка дисперсию обычно называют вариацией V и рискованность обычно отождествляется со Средним Квадратическим Отклонением. Таким образом, V=D[E]= M[( E- mЕ )2 ] и s =Прикладная математика.

Рассмотрим общую задачу распределения капитала, который участник рынка хочет потратить на покупку ценных бумаг, по различным видам ценных бумаг.

Пусть xi - доля капитала, потраченная на закупку ценных бумаг i-го вида. Пусть Ei - эффективность (можно считать, доход за некоторый период времени) ценных бумаг i-го вида, стоящих одну денежную единицу. Через Vij будем обозначать ковариацию ценных бумаг i-го и j -го видов (или корреляционный момент Kij). Пусть mi - математическое ожидание эффективности Ei и s i = Прикладная математика, где Vii - вариация или дисперсия этой эффективности Ei . Рискованность ценной бумаги i-го вида отождествим со средним квадратическим отклонением s i.

Набор ценных бумаг, находящихся у участника рынка, называется его портфелем. Эффективность портфеля ( в простейшем случае это доход, приносимый ценными бумагами портфеля за какой-нибудь промежуток времени), вообще говоря, есть случайная величина, обозначим ее через Ep, тогда ожидаемое значение этой эффективности mp =M[Ep]=Прикладная математика. Дисперсия портфеля есть D[Ep ]= Прикладная математика. Величина Прикладная математика может быть названа риском портфеля. Обычно D[Ep] обозначается Vp. Итак, мы выразили эффективность и риск портфеля через эффективности составляющих его ценных бумаг и их ковариации.

Каждый владелец портфеля ценных бумаг сталкивается с дилеммой: хочется иметь эффективность побольше, а риск поменьше. Однако поскольку "нельзя поймать двух зайцев сразу", необходимо сделать определенный выбор между эффективностью и риском.

Математическая формализация задачи формирования оптимального портфеля такова:

Найти xi, минимизирующие вариацию эффективности портфеля

Vp = Прикладная математика,

при условии, что обеспечивается заданное значение ожидаемой эффективности портфеля mp, т.е.

mp =Прикладная математика.

поскольку xi - доли, то в сумме они должны составлять единицу:

Прикладная математика=1 .

Решение (оптимальное) этой задачи обозначим *. Если x*i >0 , то это означает рекомендацию вложить долю x*i наличного капитала в ценные бумаги i-го вида. Если же x*i <0 , то содержательно это означает провести операцию "short sale". Если такие операции невозможны, значит необходимо ввести ограничения xi ³ 0 . Что такое операция "short sale" ?

Если x*i < 0 , то инвестор, формирующий портфель, обязуется через какое-то время поставить ценные бумаги i-го вида (вместе с доходом, какой они бы принесли их владельцу за это время). За это сейчас он получает их денежный эквивалент. На эти деньги он покупает более доходные ценные бумаги и получает по ним доход и оказывается в выигрыше!

Если на рынке есть безрисковые бумаги (к таким можно с некоторой натяжкой отнести государственные ценные бумаги), то решение задачи об оптимальном портфеле сильно упрощается и приобретает замечательное новое качество.

Пусть m0 - эффективность безрисковых бумаг, а x0 - доля капитала в них вложенного. Пусть mr - средняя ожидаемая эффективность и Vr, s r - вариация (дисперсия), СКО эффективности рисковой части портфеля, в рисковую часть портфеля вложено (1-x0) часть всего капитала. Тогда ожидаемая эффективность всего портфеля mp =x0 m0 +(1-x0 )mr, вариация портфеля Vp =(1-x0 )2 Vr и риск портфеля s p =(1-x0 ) s r (считается, что безрисковые бумаги некоррелированы с остальными). Исключая x0, получим

mp = m0 +s p (m -m0 )/ s r ,

т.е. ожидаемая эффективность портфеля линейно зависит от его риска.

Рассмотрим задачу об оптимальном портфеле в этом случае. Рисковые виды ценных бумаг будем нумеровать числами от 1 до n .

Прикладная математика

x0 m0 + Прикладная математика = mp

x0 + Прикладная математика = 1

Изложим теперь окончательное решение этой задачи.

Пусть V - матрица ковариаций рисковых видов ценных бумаг, X=(xi), M=(mi) - векторы-столбцы долей xi капитала, вкладываемых в i-й вид рисковых ценных бумаг и ожидаемых эффективностей этого вида, i=1,.., n. Пусть также I - n-мерный вектор-столбец, компоненты которого есть 1. Тогда оптимальное значение долей xi есть

Прикладная математика.

Здесь V-1 - матрица, обратная к V . В числителе дроби стоит число, в знаменателе, если выполнить все действия (верхний индекс Т означает транспонирование вектора-столбца), тоже получится число, причем константа, определяемая рынком и не зависящая от инвестора, V-1(M-m0I) - вектор-столбец размерности n . Видно, что этот вектор не зависит от эффективности портфеля mp. Таким образом, вектор долей рисковых видов ценных бумаг пропорциональный этому вектору также не зависит от mp. Следовательно, структура рисковой части портфеля не зависит от mp. Однако сумма компонент вектора X* зависит от mp, именно, компоненты вектора X* пропорционально увеличиваются с ростом mp, поэтому доля x0 безрисковых вложений будет при этом сокращаться.

Пример. Сформировать оптимальный портфель заданной эффективности из трех видов ценных бумаг: безрисковых эффективности 2 и некоррелированных рисковых ожидаемой эффективности 4 и 10 и рисками 2 и 4 . Как устроена рисковая часть оптимального портфеля? При какой ожидаемой эффективности портфеля возникает необходимость в операции "short sale" и с какими ценными бумагами?

Решение. Итак, m0 =2, M=Прикладная математика, V=Прикладная математика. Зададимся эффективностью портфеля mp. Теперь надо найти обратную матрицу к матрице V . Это просто: V-1 = Прикладная математика. Вычислим знаменатель:

Прикладная математика.

Итак, вектор долей рисковых бумаг есть X* =((mз-2)/5)Прикладная математика. Таким образом, рисковые доли должны быть одинаковы и каждая из них равна (mз-2)/10 . Следовательно, x*0 =1-(mр-2)/5 . Понятно, что необходимость в операции "short sale" возникнет, если x*0 < 0, т.е. когда mр > 7 .

Можно доказать, что риск оптимального портфеля в зависимости от его доходности при наличии безрисковых бумаг равен Прикладная математика, где Прикладная математика

Постановку задачи формирования оптимального портфеля (1) можно словами сформулировать так:

Сформировать портфель минимального риска из всех имеющих эффективность не менее заданной.

Но столь же естественна и задача формирования портфеля максимальной эффективности из всех имеющих риск не более заданного, т.е. найти Прикладная математика, максимизирующие ожидаемую эффективность портфеля

Прикладная математика

при условии, что обеспечивается значение риска портфеля не более заданного, т.е.

Прикладная математика

поскольку Прикладная математика – доли, то в сумме они должны составлять единицу: Прикладная математика

Если на рынке есть безрисковые бумаги, то в такой постановке задача формирования такого оптимального портфеля имеет решение, очень похожее на (2): Оптимальное значение долей Прикладная математика рисковых бумаг есть

Прикладная математика (3)

Можно доказать, что эффективность портфеля максимальной эффективности в зависимости от заданного его риска Прикладная математика равна Прикладная математика.

§14. Принятие решений в условиях неопределенности

Предположим, что ЛПР (Лицо, Принимающее Решения) рассматривает несколько возможных решений i=1,..m. Ситуация неопределенна, понятно лишь, что наличествует какой-то из вариантов Прикладная математика. Если будет принято Прикладная математика-e решение, а ситуация есть Прикладная математика-я , то фирма, возглавляемая ЛПР, получит доход Прикладная математика. Матрица Прикладная математика называется матрицей последствий (возможных решений). Какое же решение нужно принять ЛПР? В этой ситуации полной неопределенности могут быть высказаны лишь некоторые рекомендации предварительного характера. Они не обязательно будут приняты ЛПР. Многое будет зависеть, например, от его склонности к риску. Но как оценить риск в данной схеме?

Допустим, мы хотим оценить риск, который несет i-e решение. Нам неизвестна реальная ситуация. Но если бы ее знали, то выбрали бы наилучшее решение, т.е. приносящее наибольший доход. Т.е. если ситуация есть Прикладная математика-я , то было бы принято решение, дающее доход Прикладная математика.

Значит, принимая Прикладная математика-e решение мы рискуем получить не Прикладная математика, а только Прикладная математика, значит принятие Прикладная математика-го решения несет риск недобрать Прикладная математика. Матрица Прикладная математика называется матрицей рисков.

Пример 1. Пусть матрица последствий есть Прикладная математика

Составим матрицу рисков. Имеем Прикладная математика Следовательно, матрица рисков есть

Прикладная математика

А. Принятие решений в условиях полной неопределенности.

Не все случайное можно "измерить" вероятностью. Неопределенность – более широкое понятие. Неопределенность того, какой цифрой вверх ляжет игральный кубик отличается от неопределенности того, каково будет состояние российской экономики через 15 лет. Кратко говоря, уникальные единичные случайные явления связаны с неопределенностью, массовые случайные явления обязательно допускают некоторые закономерности вероятностного характера.

Ситуация полной неопределенности характеризуется отсутствием какой бы то ни было дополнительной информации. Какие же существуют правила-рекомендации по принятию решений в этой ситуации?

Правило Вальда (правило крайнего пессимизма). Рассматривая Прикладная математика-e решение будем полагать, что на самом деле ситуация складывается самая плохая, т.е. приносящая самый малый доход Прикладная математика.

Но теперь уж выберем решение Прикладная математика с наибольшим Прикладная математика. Итак, правило Вальда рекомендует принять решение Прикладная математика, такое что

Прикладная математика

Так, в вышеуказанном примере, имеем Прикладная математикаТеперь из чисел 2,2,3,1 находим максимальное. Это – 3 . Значит, правило Вальда рекомендует принять 3-е решение.

Правило Сэвиджа (правило минимального риска). При применении этого правила анализируется матрица рисков Прикладная математика. Рассматривая Прикладная математика-e решение будем полагать, что на самом деле складывается ситуация максимального риска Прикладная математика

Но теперь уж выберем решение Прикладная математика с наименьшим Прикладная математика. Итак, правило Сэвиджа рекомендует принять решение Прикладная математика, такое что

Прикладная математика

Так, в вышеуказанном примере, имеем Прикладная математика Теперь из чисел 8,6,5,7 находим минимальное. Это – 5. Значит правило Сэвиджа рекомендует принять 3-е решение.

Правило Гурвица (взвешивающее пессимистический и оптимистический подходы к ситуации). Принимается решение Прикладная математика, на котором достигается максимум

Прикладная математика

где Прикладная математика. Значение Прикладная математика выбирается из субъективных соображений. Если Прикладная математика приближается к 1, то правило Гурвица приближается к правилу Вальда, при приближении Прикладная математика к 0, правило Гурвица приближается к правилу "розового оптимизма" (догадайтесь сами, что это значит). В вышеуказанном примере при Прикладная математика правило Гурвица рекомендует 2-е решение.

В. Принятие решений в условиях частичной неопределенности.

Предположим, что в рассматриваемой схеме известны вероятности Прикладная математика того, что реальная ситуация развивается по варианту Прикладная математика. Именно такое положение называется частичной неопределенностью. Как здесь принимать решение? Можно выбрать одно из следующих правил.

Правило максимизации среднего ожидаемого дохода. Доход, получаемый фирмой при реализации Прикладная математика-го решения, является случайной величиной Прикладная математика с рядом распределения

Прикладная математика

 

 

Прикладная математика

Прикладная математика

 

 

Прикладная математика

Математическое ожидание Прикладная математика и есть средний ожидаемый доход, обозначаемый также Прикладная математика. Итак, правило рекомендует принять решение, приносящее максимальный средний ожидаемый доход.

Предположим, что в схеме из предыдущего п. вероятности есть (1/2, 1/6, 1/6, 1/6). Тогда Прикладная математика

Максимальный средний ожидаемый доход равен 7, соответствует 3-у решению.

Правило минимизации среднего ожидаемого риска. Риск фирмы при реализации Прикладная математика-го решения, является случайной величиной Прикладная математика с рядом распределения

Прикладная математика

 

 

Прикладная математика

Прикладная математика

 

 

Прикладная математика

Математическое ожидание Прикладная математика и есть средний ожидаемый риск, обозначаемый также Прикладная математика. Правило рекомендует принять решение, влекущее минимальный средний ожидаемый риск.

Вычислим средние ожидаемые риски при указанных выше вероятностях. Получаем Прикладная математика Минимальный средний ожидаемый риск равен 7/6, соответствует 3-у решению.

Нанесем средние ожидаемые доходы Прикладная математикаи средние ожидаемые риски Прикладная математика на плоскость – доход откладываем по вертикали, а риски по горизонтали (см.рис.):

Получили 4 точки. Чем выше точка Прикладная математика:Прикладная математика, тем более доходная операция, .Q3 чем точка правее – тем более она рисковая. Значит, нужно выбирать точку выше и левее. Точка Прикладная математика Q1 доминирует точку Прикладная математика, если Прикладная математика Q2 и Прикладная математика и хотя бы одно из этих .Q4 неравенств строгое. В нашем случае 3-я операция доминирует все остальные.

Прикладная математика

Точка, не доминируемая никакой другой называется оптимальной по Парето, а множество всех таких точек называется множеством оптимальности по Парето. Легко видеть, что если из рассмотренных операций надо выбрать лучшую, то ее обязательно надо выбрать из операций, оптимальных по Парето. В нашем случае, множество Парето, т.е. оптимальных по Парето операций, состоит только из одной 3-й операции.

Для нахождения лучшей операции иногда применяют подходящую взвешивающую формулу, которая для пар Прикладная математика дает одно число, по которому и определяют лучшую операцию. Например, пусть взвешивающая формула есть Прикладная математика. Тогда получаем: Прикладная математика

Прикладная математика. Видно, что 3-я операция – лучшая, а 4-я – худшая.

С. Правило Лапласа.

Иногда в условиях полной неопределенности применяют правило Лапласа равновозможности, когда все вероятности Прикладная математика считают равными. После этого можно выбрать какое-нибудь из двух приведенных выше правил-рекомендаций принятия решений.

§15. Математико-статистический анализ данных о деятельности производственного экономического объекта

Цель математико-статистического анализа данных, характеризующих поведение исследуемого экономического объекта, состоит в том, чтобы выявить тенденции изменения выпуска продукции и используемых ресурсов, установить зависимость между выпуском и затратами ресурсов и по этим тенденциям и зависимостям найти прогнозы выпуска на ближайшую перспективу.

Выявление тенденций и установление зависимостей между выпуском и ресурсами осуществляется с помощью методов экстраполяции временных рядов и регрессионного анализа, изучаемых в курсе "Теория вероятностей и математическая статистика" [ ].

Расчеты по регрессионным моделям целесообразно выполнять на персональных ЭВМ с помощью пакетов прикладных программ, имеющих в своем составе программы множественной линейной регрессии (например, Statistica for Windows, Statgraf, SAS), однако возможно их выполнение на научном калькуляторе по формулам регрессионного анализа, приведенным в [ ].

Технику проведения расчетов и получения прогнозов покажем на примере исследования экономики США. Исходные данные для расчетов, взятые из следующих источников: Economic Report of the President, 1995,Wash,1995; Statistical Abstract of the USA, 1995, Wash, 1995, приведены в следующей таблице.

Валовой внутренний продукт, (в ценах 1987 г.), основные производственные фонды (в ценах 1987 г.) и число занятых в США в 1960-1995 г.г.

№ п.п.

Год

ВВП

(млрд. долл.)

Xt

ОПФ

(млрд. долл.)

Kt

Число занятых (млрд. чел.)

Lt

1

1960

1986,9

5596,9

65,8

2

1961

2035,7

5685,6

65,7

3

1962

2140,5

5849,8

66,7

4

1963

2234,2

6098,9

67,8

5

1964

2357,4

6336,1

69,3

6

1965

2493,3

6621,5

71,1

7

1966

2635,7

6921,8

72,9

8

1967

2705,6

7237,0

74,4

9

1968

2816,0

7434,0

75,9

10

1969

2891,0

8062,0

77,9

11

1970

2889,5

8416,8

78,7

12

1971

2978,2

8596,7

79,4

13

1972

3133,2

9533,6

82,2

14

1973

3298,5

9718,1

85,1

15

1974

3283,5

9455,7

86,8

16

1975

3250,2

9493,2

85,8

17

1976

3414,0

9620,9

88,8

18

1977

3568,2

9755,9

92,0

19

1978

3738,8

11217,1

96,0

20

1979

3848,6

12117,0

98,8

21

1980

3824,4

11691,4

99,3

22

1981

3883,1

11987,8

100,4

23

1982

3794,5

10717,1

99,5

24

1983

3938,5

10849,2

100,8

25

1984

4177,5

11989,2

105,0

28

1987

4544,5

13063,7

112,4

29

1988

4724,0

13382,5

115,0

30

1989

4854,2

13838,9

117,3

31

1990

5002,5

15411,8

117,9

32

1991

4881,6

14295,5

116,9

33

1992

4984,1

14252,1

117,6

34

1993

5139,9

14412,5

119,3

35

1994

5372,0

15319,8

123,1

36

1995

5604,1

15939,2

126,7

а) Анализ тенденций изменения и прогнозирование ВВП, ОПФ и числа занятых.

Анализ тенденции изменения и прогнозирование покажем на примере ВВП. Если имеет место линейный тренд, то модель изменения ВВП принимает вид

Прикладная математика,

где

Прикладная математика - линейный (относительно времени) тренд,

Прикладная математика - среднее значение ВВП (значение тренда) при t=0 (Прикладная математика » x1 - Прикладная математика),

Прикладная математика - среднегодовой прирост ВВП,

e t – отклонение фактического значения ВВП от тренда.

Оценки коэффициентов тренда приведены в [ ] и имеют вид

Прикладная математика

Выполнив расчеты на ЭВМ с помощью указанных ППП, либо непосредственно подставив значения временного ряда ВВП (взятые из таблицы) в последние две формулы, получаем оценки коэффициентов тренда

Прикладная математика = 1854,1 – оценка среднего значения ВВП в 1959 г. (млрд. долл.)

Прикладная математика= 96,66 – оценка среднегодового прироста ВВП (млрд. долл.), тем самым и оценки тренда

Хt = 1854,1 + 96,66× t.

Прогноз осуществляем по следующей формуле (подставляем будущие значения времени в уравнение тренда)

Прикладная математика

в частности,

(1996)Прикладная математика = 1854,1 + 96,66× 37 = 5430,6;

(1997) Прикладная математика= 5527,3;

(1998) Прикладная математика = 5623,9.

Точно так же находим оценки трендов и прогнозируемые значения ОПФ и числа занятых

Прикладная математика = 5071,7 + 290,05t;

Прикладная математика

(1996) Прикладная математика = 5071,7 + 290,05× 37 = 15803,6;

(1997) Прикладная математика = 16093,6;

(1998) Прикладная математика = 16383,7;

Прикладная математика = 60,36 + 1,796t;

Прикладная математика

(1996) Прикладная математика = 60,36 + 1,796× 37 = 126,8;

(1997) Прикладная математика = 128,6;

(1998) Прикладная математика = 130,4.

Замечание. Полученные прогнозы основаны на данных 1960 – 1995 г.г. К настоящему времени уже известны фактические данные за 1996 – 1998 г.г., поэтому есть возможность сравнить прогнозируемые значения с фактическими.

На приводимых ниже рисунках показаны фактические, расчетные (по линейному тренду) и прогнозируемые значения.

Прогноз ОПФ на 1996 – 1998 г.г. (млрд. долл.)

Прикладная математика

Прогноз числа занятых на 1996-1998 г.г. (млн. чел.)

Прикладная математика

б) Установление зависимости ВВП от ресурсов (ОПФ и числа занятых) и прогнозирование ВВП с помощью найденной зависимости.

Зависимость ВВП от ОПФ и числа занятых постулируем в форме мультипликативной функции

Прикладная математика,

где

А – коэффициент нейтрального технического прогресса,

a K, a L – коэффициенты эластичности по фондам и по труду.

При наложении этой гипотетической зависимости на реальные данные приходим к следующей модели

Прикладная математика

Прикладная математика - корректировочный коэффициент, который приводит расчетные (по модели) данные к фактическим.

В логарифмах эта модель приобретает вид уравнения регрессии с двумя независимыми переменными

Прикладная математика.

Вводя в программу линейной множественной регрессии в качестве значений зависимой переменной логарифмы ВВП (ln Xt, t = 1,…,T), а в качестве значений двух переменных логарифмы ОПФ (ln Kt, t = 1,…,T) и числа занятых (ln Lt, t = 1,…,T), получаем в результате работы программы оценки параметров регрессии

Прикладная математика.

Так расчеты на ЭВМ с помощью ППП " Statistica for Windows" по логарифмам походных данных дали следующие результаты

Прикладная математика,

поэтому (Прикладная математика= 2,248)

Прикладная математика.

Используя прогнозируемые значения ресурсов, получаем прогноз ВВП с помощью найденной зависимости от ресурсов

(1996) Прикладная математика

(1997) Прикладная математика = 5576,7;

(1998) Прикладная математика = 5680,1.

На приводимом ниже рисунке показаны фактические, расчетные (по линейному тренду и по мультипликативной функции) значения ВВП.

Прогноз ВВП на 1996-1998 г.г.(млрд. долл.)

Прикладная математика

в) Выводы из результатов расчетов.

Как видно из таблицы исходных данных экономика США в 1960-1995 г.г. находилась в состоянии экономического роста, прерываемого в 1960-1961 г.г., 1969-1970 г.г., 1974-1975 г.г., 1980-1982 г.г., 1990-1992 г.г. кризисами и спадами производства.

Этот экономический рост характеризуется среднегодовыми приростами: ВВП – на 96,7 млрд. долл., ОПФ – на 290,1 млрд. долл., числа занятых – на 1,8 млн. чел. Увеличение ОПФ на 1% приводит к увеличению ВВП на 0,404%, а увеличение числа занятых на 1% - на 0,803%, т.е. экономический рост являлся фондосберегающим.

Если бы тенденции сохранились, то к концу 1998 г. ОПФ составили бы 16383,7 млрд. долл. (рост по сравнению с 1995 г. на 2,8%), ВВП достиг бы в 1998 г. значений: при прогнозе по линейному тренду – 5623,9 млрд. долл. (рост на 0,35%), при прогнозе на мультипликативной зависимости – 5680,1 (рост на 1,4%).


Рефетека ру refoteka@gmail.com