Рефетека.ру / Математика

Статья: Метод АВИ в математической теории переноса вредных веществ в гетерогенных средах

С.н.с. Алехин В. И.

Кафедра автоматизированной обработки информации.

Северо-Кавказский горно-металлургический институт (государственный технологический университет)

Метод решения дифференциальных уравнений, разработанный В. И. Алехиным (метод АВИ), применяется для определения переноса вредных веществ в гетерогенных средах.

В работах [1 – 3] была отмечена специфика метода АВИ при решении задач по определению переноса вредных веществ под действием импульсных источников в гомогенных средах.

При непосредственном применении метода АВИ для изучения вопроса распространения вредных веществ в гетерогенных средах возникают трудности, связанные с наличием двухпараметрического асимптотического решения исходного уравнения при Метод АВИ в математической теории переноса вредных веществ в гетерогенных средах

Для преодоления этой проблемы в настоящей работе вводятся разные масштабы Метод АВИ в математической теории переноса вредных веществ в гетерогенных средах и Метод АВИ в математической теории переноса вредных веществ в гетерогенных средах. Здесь Метод АВИ в математической теории переноса вредных веществ в гетерогенных средах характерный масштаб изменения времени импульсного выброса, Метод АВИ в математической теории переноса вредных веществ в гетерогенных средаххарактерный масштаб (параметр) изменения неоднородностей гетерогенной среды, в которой распространяются вредные вещества после импульсного выброса.

Проиллюстрируем применение метода АВИ на следующем примере.

Пусть имеем уравнение, которое описывает диффузию вредных веществ, вызванную периодическим импульсным источником (действующим в моменты времени Метод АВИ в математической теории переноса вредных веществ в гетерогенных средах:

Метод АВИ в математической теории переноса вредных веществ в гетерогенных средах , (1)

здесь Метод АВИ в математической теории переноса вредных веществ в гетерогенных средахпериодические (период равен – 1), ограниченные , гладкие функции по Метод АВИ в математической теории переноса вредных веществ в гетерогенных средах где Метод АВИ в математической теории переноса вредных веществ в гетерогенных средах

Учитывая, что при Метод АВИ в математической теории переноса вредных веществ в гетерогенных средах имеет место импульсный выброс вредных веществ, определяем поведение их концентрации при Метод АВИ в математической теории переноса вредных веществ в гетерогенных средах Для этого применим метод АВИ, согласно которому будем иметь асимптотическое решение уравнения (1) в следующем виде:

Метод АВИ в математической теории переноса вредных веществ в гетерогенных средах , (2)

где Метод АВИ в математической теории переноса вредных веществ в гетерогенных средах Метод АВИ в математической теории переноса вредных веществ в гетерогенных средах и т.д. – гладкие, ограниченные функции поМетод АВИ в математической теории переноса вредных веществ в гетерогенных средах Подставим (2) в уравнение (1) и приравняем нулю коэффициенты при Метод АВИ в математической теории переноса вредных веществ в гетерогенных средах.

В результате получим следующую систему рекуррентных, дифференциальных уравнений, из которой определяются коэффициенты асимптотического разложения (2):Метод АВИ в математической теории переноса вредных веществ в гетерогенных средах Метод АВИ в математической теории переноса вредных веществ в гетерогенных средах Метод АВИ в математической теории переноса вредных веществ в гетерогенных средах

Метод АВИ в математической теории переноса вредных веществ в гетерогенных средах …….и.т.д. (3)

Здесь Метод АВИ в математической теории переноса вредных веществ в гетерогенных средах ; Метод АВИ в математической теории переноса вредных веществ в гетерогенных средах;

Метод АВИ в математической теории переноса вредных веществ в гетерогенных средах; Метод АВИ в математической теории переноса вредных веществ в гетерогенных средах ….. и т. д. (4)

Рассмотрим первое уравнение системы (3), (4)

Метод АВИ в математической теории переноса вредных веществ в гетерогенных средах. (5)

Будем искать в следующем виде Метод АВИ в математической теории переноса вредных веществ в гетерогенных средах, тогда

Метод АВИ в математической теории переноса вредных веществ в гетерогенных средах.

Проинтегрируем последнее уравнение по Метод АВИ в математической теории переноса вредных веществ в гетерогенных средах , в результате найдем

Метод АВИ в математической теории переноса вредных веществ в гетерогенных средах, (6)

Метод АВИ в математической теории переноса вредных веществ в гетерогенных средах , Метод АВИ в математической теории переноса вредных веществ в гетерогенных средах.

Будем искать решение уравнения (6) в следующем виде:

Метод АВИ в математической теории переноса вредных веществ в гетерогенных средах .  (7)

Подставим (7) в уравнение (6) и получим характеристическое уравнение (8) для Метод АВИ в математической теории переноса вредных веществ в гетерогенных средах:

Метод АВИ в математической теории переноса вредных веществ в гетерогенных средах. (8)

Из (9) получим корни характеристического уравнения

Метод АВИ в математической теории переноса вредных веществ в гетерогенных средахМетод АВИ в математической теории переноса вредных веществ в гетерогенных средах Метод АВИ в математической теории переноса вредных веществ в гетерогенных средах . (9)

Следовательно, общее решение уравнения (6) можно записать в следующем виде:

Метод АВИ в математической теории переноса вредных веществ в гетерогенных средах ; (10)

Метод АВИ в математической теории переноса вредных веществ в гетерогенных средах . (11)

Таким образом, концентрация вредных веществ с точностью до Метод АВИ в математической теории переноса вредных веществ в гетерогенных средахбудет.

Метод АВИ в математической теории переноса вредных веществ в гетерогенных средах . (12)

Так как Метод АВИ в математической теории переноса вредных веществ в гетерогенных средах не зависит от Метод АВИ в математической теории переноса вредных веществ в гетерогенных средах, отсюда вытекает, что

Метод АВИ в математической теории переноса вредных веществ в гетерогенных средах, (13)

где Метод АВИ в математической теории переноса вредных веществ в гетерогенных средах некоторая постоянная величина (в частности Метод АВИ в математической теории переноса вредных веществ в гетерогенных средах).

Рассмотрим уравнение (13) при Метод АВИ в математической теории переноса вредных веществ в гетерогенных средах; тогда

Метод АВИ в математической теории переноса вредных веществ в гетерогенных средах.

Решая уравнение Гамильтона–Якоби (13), найдем функцию Метод АВИ в математической теории переноса вредных веществ в гетерогенных средах:

Метод АВИ в математической теории переноса вредных веществ в гетерогенных средах , (14)

Метод АВИ в математической теории переноса вредных веществ в гетерогенных средах, (15)

где Метод АВИ в математической теории переноса вредных веществ в гетерогенных средах Метод АВИ в математической теории переноса вредных веществ в гетерогенных средах. Из данных соотношений определяется Метод АВИ в математической теории переноса вредных веществ в гетерогенных средах.

Если Метод АВИ в математической теории переноса вредных веществ в гетерогенных средах, тогда уравнение (1) редуцируется к уравнению с постоянными коэффициентами:

Метод АВИ в математической теории переноса вредных веществ в гетерогенных средах . (16)

Решение однородного уравнения (16) будем искать методом разделения переменных. Пусть Метод АВИ в математической теории переноса вредных веществ в гетерогенных средах тогда из (16) получим

Метод АВИ в математической теории переноса вредных веществ в гетерогенных средах. (17)

Из (17) следует

Метод АВИ в математической теории переноса вредных веществ в гетерогенных средах 

Метод АВИ в математической теории переноса вредных веществ в гетерогенных средах (18)

где Метод АВИ в математической теории переноса вредных веществ в гетерогенных средах собственное значение.

Из (18) следует: Метод АВИ в математической теории переноса вредных веществ в гетерогенных средах, Метод АВИ в математической теории переноса вредных веществ в гетерогенных средах. Раскрывая производные, получаем:

Метод АВИ в математической теории переноса вредных веществ в гетерогенных средах. (19)

С точностью до Метод АВИ в математической теории переноса вредных веществ в гетерогенных средах из (19) получим

Метод АВИ в математической теории переноса вредных веществ в гетерогенных средах. (20)

Положим Метод АВИ в математической теории переноса вредных веществ в гетерогенных средах, тогда, подставляя это выражение в (20), получаем:

Метод АВИ в математической теории переноса вредных веществ в гетерогенных средах.  (21)

Пусть Метод АВИ в математической теории переноса вредных веществ в гетерогенных средах, подставим данное выражение в правую часть уравнений (21). Приравнивая нулю коэффициенты при Метод АВИ в математической теории переноса вредных веществ в гетерогенных средах, в результате получаем систему рекуррентных уравнений:

Метод АВИ в математической теории переноса вредных веществ в гетерогенных средах  (22)

из которой можно определить

Метод АВИ в математической теории переноса вредных веществ в гетерогенных средах), (23)

где Метод АВИ в математической теории переноса вредных веществ в гетерогенных средах некоторые постоянные. Из второго уравнения системы (21)

получим Метод АВИ в математической теории переноса вредных веществ в гетерогенных средах.

Таким образом,

Метод АВИ в математической теории переноса вредных веществ в гетерогенных средах (24)

определяет изменение концентрации вредных веществ при Метод АВИ в математической теории переноса вредных веществ в гетерогенных средах. Далее, при Метод АВИ в математической теории переноса вредных веществ в гетерогенных средах происходит второй выброс вредных веществ, и процесс нахождения повторяется.

Дополнение

Для теоретического описания гетерогенных сред и возможности применения аппарата дифференциальных уравнений необходимо введение понятия абстрактной гетерогенной среды.

Как известно, гомогенная среда характеризуется однородностью физических процессов, протекающих в ней.

С другой стороны, для гетерогенных сред характерно многообразие данных процессов, находящихся в единстве.

Так, при изучении процессов распространения вредных веществ в городских и горных условиях мы будем вводить понятие гетерогенной среды, применимое и в более общих случаях.

Гетерогенные среды (как городская, так и горная) образуют некоторые «ячейки» неодинаковых размеров. Для того чтобы отвлечься от данных моментов, будем рассматривать абстрактную гетерогенную среду, ячейки которой являются усредненными для реальной гетерогенной среды.

Например, рассмотрим городскую среду. Как известно, в ней основной формой ячеек будут разнообразные прямоугольники. Обозначим размеры i-го прямоугольника через Метод АВИ в математической теории переноса вредных веществ в гетерогенных средахПусть в городе имеются N подобных ячеек (кварталов), тогда размеры абстрактной (усредненной) ячейки можно представить следующим образом:

Метод АВИ в математической теории переноса вредных веществ в гетерогенных средах , Метод АВИ в математической теории переноса вредных веществ в гетерогенных средах .

Таким образом, абстрактная городская среда будет состоять изМетод АВИ в математической теории переноса вредных веществ в гетерогенных средахусредненных прямоугольников со сторонами Метод АВИ в математической теории переноса вредных веществ в гетерогенных средах

Далее введем понятие характерного размера ячейки, как Метод АВИ в математической теории переноса вредных веществ в гетерогенных средах. Естественно, абстрактные ячейки могут быть самой разнообразной формы (треугольники, окружности и т.п.), что характеризует специфические особенности данной гетерогенной среды.

Если мы имеем источник вредных веществ, то эти вещества, испытав перенос, будут осаждаться на ячейки гетерогенной структуры (среды).

Посчитав массу mi вредных веществ, которая была осаждена на i-ую ячейку, нетрудно найти общую массу вредных веществ, осевших на всю среду

Метод АВИ в математической теории переноса вредных веществ в гетерогенных средах.

Естественно, Метод АВИ в математической теории переноса вредных веществ в гетерогенных средах будет зависеть от физико-химических процессов, которые будут происходить на поверхностях ячеек. Например, в случае выброса сернистого газа на поверхности ячеек может происходить химическая реакция под действием серной кислоты. В процессе данной реакции на поверхности ячеек образуется турбулентный, диффузионный, пограничный слой.

Список литературы

1. Алехин В. И. Построение асимптотических решений нелинейных уравнений с негладкими коэффициентами. Библиографический указатель ВИНИТИ, 1985, №5.

2. Алборов И. Д., Алехин В. И. Новые подходы решения задач математической экологии // Вестник Международной академии наук экологии и безопасности жизнедеятельности. Т. 7, 9(57), 2002.

3. Астахова Л. Г., Алехин В. И. Об одном методе в теории нелинейных уравнений // Владикавказский научный центр РАН. Труды молодых ученых. №3. 2002.

Рефетека ру refoteka@gmail.com